Seitsenkulmio

Olkoot säännöllisen seitsenkulmion pinta-ala A ja sivun pituus a. Tällöin

${\displaystyle A={\frac {7}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{7}}\simeq 3{,}63391a^{2}.}$

Jos lisäksi eripituisten lävistäjien pituudet ovat d₁ ja d₂, on voimassa 1/a = 1/d₁ + 1/d₂. Tämä tulos seuraa helposti Ptolemaioksen lauseesta. Jos valitaan indeksointi siten, että ${\displaystyle d_{1}<d_{2}}$, on voimassa ${\displaystyle d_{1}={\frac {\sqrt {7}}{2a^{2}}}-{\sqrt {{\frac {7}{4a^{4}}}-{\frac {\sqrt {7}}{a}}}}}$ ja ${\displaystyle d_{2}={\frac {\sqrt {7}}{2a^{2}}}+{\sqrt {{\frac {7}{4a^{4}}}-{\frac {\sqrt {7}}{a}}}}}$[1] sekä ${\displaystyle {\frac {d_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {d_{2}^{2}}{d_{1}^{2}}}+{\frac {a^{2}}{d_{2}^{2}}}=5}$[2]

Säännöllinen seitsenkulmio voidaan jakaa seitsemään yhtenevään tasakylkiseen kolmioon. Jos seitsenkulmio on ympyrän sisään piirretty, näiden kolmioiden kaksi kärkeä on ympyrän kehällä ja kolmas ympyrän keskipisteessä. Kulma, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä, on suuruudeltaan 360/7 = 51 3/7 astetta eli ${\displaystyle {\frac {2\pi }{7}}}$ radiaania.

Koska luku 7 on pariton alkuluku, joka ei kuulu Fermat’n alkulukuihin, säännöllistä seitsenkulmiota ei voida klassisten sääntöjen mukaan piirtää harpilla ja viivoittimella. Tämä seuraa siitä, että ${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\approx 1.247}$ on jaottoman kolmannen asteen polynomin ${\displaystyle x^{3}+x^{2}-2x-1}$ nollakohta. Näin ollen tämä polynomi on ${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{7}}}$:n minimaalipolynomi. Näin konstruoitavissa ovat kuitenkin vain sellaiset pisteet ja etäisyydet, joiden minimaalipolynomin aste on kahden potenssi.

Jos sen sijaan viivoittimeen sallitaan tehdä merkintöjä ja sallitaan sen liu'uttaminen annetun pisteen ympäri, tällaisen viivoittimen ja harpin avulla voidaan piirtää myös säännöllinen seitsenkulmio. Tällöin kyseessä ei kuitenkaan ole enää klassinen geometrinen konstruktio, vaan tällaisia konstruktioita sanotaan neusis-konstruktioiksi.

Neusis-konstruktio säännöllisen seitsenkulmion sisäkulman piirtämiseksi.

Tämä voidaan tehdä useammallakin tavalla. Eräs neusis-konstruktio, jolla säännöllinen seitsenkulmio voidaan konstruoida, on seuraava:

Piirretään ensin neliö OPQR sekä sen sivujen OP ja QR yhteinen keskinormaali ja jatketaan sitä neliön ulkopuolelle. Piirretään O keskipisteenä ja lävistäjä OQ säteenä ympyrä ja jatketaan sivua OP sinne saakka, missä se leikkaa tämän ympyrän.

Kaikki tähän mennessä suoritetut toimenpiteet voidaan suorittaa klassisten sääntöjen mukaan geometrisena konstruktiona. Seuraava vaihe on kuitenkin neusis-konstruktio: piirretään pisteen P kautta kulkeva, neliön sivun pituinen jana, jonka toinen päätepiste (A) on neliön sivuille piirretyllä keskinormaalilla, toinen taas edellä piirretyllä ympyrällä. Tämä edellyttää, että viivoittimeen on merkitty kaksi pistettä, joiden välinen etäisyys on sama kuin neliön sivu.

Tämän jälkeen piirretään pisteestä A lähtevä, neliön kärkipisteen O kautta kulkeva jana, joka sekin on neliön sivun pituinen. Tämä jana sekä jana AB ovat kaksi säännöllisen seitsenkulmion sivuista. Kun täten on saatu konstruoiduiksi säännöllisen seitsenkulmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma, voidaan kuvio täydentää säännölliseksi seitsenkulmioksi.

Animaatio erään säännöllisestä vain vähän poikkeavan seitsenkulmion piirtämisestä harpin ja viivottimen avulla.

• Monikulmio
• Seitsenkulmioluku

• MathWorld: Heptagon (englanniksi)
• Leon Bankoff, Jack Garfunkel The Heptagonal Triangle (Arkistoitu – Internet Archive) (englanniksi)