Säännöllinen viisikulmio

Monet mitat säännöllisissä viisikulmioissa liittyvät kultaiseen leikkaukseen. Se on irrationaaliluku, joka yksi isompi kuin käänteislukunsa

${\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}\Leftrightarrow \varphi ^{2}-\varphi -1=0,}$ [7][8]

jonka positiivinen juuri on tämä luku

${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})\approx 1{,}618033988749894848204586834365638117720....}$ [7][8]

Jos piirtäjä pystyy muodostamaan tämän luvun harpilla ja viivoittimella, niin säännöllisten viisikulmioiden piirtäminen konstruoinnilla on mahdollista. Ympyrän viisi kehäpistettä (A, B, ... , E) yhdistävät viisi janaa (esimerkiksi AC ja BE) leikkaavat toisensa kultaisessa suhteessa. Jos leikkauspiste on F, saadaan verranto [9]

${\displaystyle {\frac {BF}{FE}}={\frac {FE}{BE}}=\varphi .}$

Merkitään ympyrän kehältä tasavälein viisi pistettä, joiden välisten kaarten keskuskulmat ovat 1/5−osa täydestä kierroksesta eli 72°. Kahden vierekkäisen pisteen yhdistäminen janalla muodostaa yhden monikulmion sivun. Viiden sivun piirtämiseksi joutuu kiertämään ympyrän keskipistettä 5 · 72° = 360°. Monikulmion ulkokulma kertoo, miten suuri on sivun jatkeen ja seuraavan sivun välinen kulma, eli miten jyrkästi sivun kärjessä käännytään, kun piirretään seuraavaa sivua. Säännöllisen viisikulmion ulkokulma on 360° / 5 = 72°. Sisäkulma on sivujen välinen kulma, joka aukeaa monikulmion sisäosaan päin. Se on viisikulmiossa (5 − 2) · 180° / 5 = 108°.

Säännöllisen viisikulmion kaksi muotoa, konveksi viisikulmio ja pentagrammi, syntyvät murtoviivan kiertyessä sopivan kokoisen ympyrän ympäri.

Kaikki lävistäjät, joita on ${\displaystyle {\tbinom {5}{2}}-5=5}$, ovat kaikki saman pituisia. Kukin lävistäjä leikkaa kahta muuta lävistäjää kahdesta kohtaa ja kumpikin leikkauskohta jakaa lävistäjän kultaisessa suhteessa. Jos viisikulmion jakaa symmetriakeskipisteestä alkavilla ja kärkiin päättyvillä säteillä osiin, saadaan viisi yhtenevää tasakylkistä kolmiota. Niiden kulmat ovat 72°−54°−54° ja sivut R−R−s (katso mitat seuraavassa). Kolmion kannan suhde kylkeen on kultainen suhde ja kolmiota kutsutaan kultaiseksi kolmioksi. Kun kolmion jakaa puoliksi apoteemalla eli korkeusjanalla r, saadaan suorakulmaisesta kolmiosta 54°−36°−90° laskettua r.[10][11][12]

Kun sama viisikulmio jakaa kolmeen kolmioon monikulmion lävistäjien avulla, saadaan kahdenlaisia tasakylkisiä kolmioita. Keskelle sijoittuu suurin kolmio, jolla on kulmat 36°−72°−72°, korkeus H ja sivut d−s−d. Kolmion kummallekin puolelle sijoittuu kolmiot, joiden kulmat ovat 72°−36°−36°, korkeus h ja sivut s−d−s.[10][11]

Säännöllisen tangentiaalisen viisikulmion sisäympyrän säteen r_k (jota kutsutaan myös pieneksi säteeksi eli apoteemaksi [1]) laskemiseksi ratkaistaan sisäympyröiden säteet generoiva yhtälö (siinä on sivu väliaikaisesti s = 1)

${\displaystyle {\binom {5}{1}}{\frac {1}{2}}r^{4}-{\binom {5}{3}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}r^{2}+{\binom {5}{5}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{5}=0}$ [2]

eli

${\displaystyle 80r^{4}-40r^{2}+1=0,}$

josta saadaan säännöllisen viisikulmion sisäympyrän säde (k = 1, sivun pituus on taas s)

${\displaystyle r_{1}={\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{20}}}s={\frac {s}{2}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\approx 0{,}68819s}$

tai pentagrammin sisäympyrän säde (k = 2)

${\displaystyle r_{2}={\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{20}}}s={\frac {s}{2}}{\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\approx 0{,}16249s.}$

Viisikulmion rakenne.

Säännöllisen viisikulmion sivun pituus on s. Silloin siihen liittyviä mittoja ovat

${\displaystyle r=r_{1}={\frac {s}{2\tan 36^{\circ }}}={\frac {s}{2}}\cot 36^{\circ }={\frac {s}{2}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\approx 0{,}68819s}$ (apoteema) [11]

${\displaystyle R={\frac {s}{2\sin 36^{\circ }}}={\frac {s}{2}}{\sqrt {2+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\approx 0{,}85065s}$ [11]

${\displaystyle d=2s\sin 54^{\circ }={\frac {s}{2}}(1+{\sqrt {5}})=\varphi s\approx 1{,}61803s}$ [11][10]

${\displaystyle h=s(1-{\frac {\varphi ^{2}}{4}})={\tfrac {1}{4}}(10-2{\sqrt {5}})s\approx 0{,}58778s}$ [11]

${\displaystyle D=R-h}$ (lävistäjän etäisyys keskipisteestä)

${\displaystyle H=r+R}$ (viisikulmion korkeus)

${\displaystyle w={\frac {s}{2}}{\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\approx 0{,}162460s}$ (sagitta) [10]

Säännöllisen viisikulmion pinta-ala on ${\displaystyle A={\frac {s^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}.}$ [10]