Ryhmäteoria

Permutaatioita esiintyy lähes joka puolella matematiikassa sekä käytännön elämässä. Juuri tämän vuoksi ryhmäteoriassa alettiin ensimmäisenä tutkia permutaatioryhmiä. Hyvänä käytännön esimerkkinä permutaatioista toimii Rubikin kuution siirrot.

Matemaattisesti määriteltynä permutaatio tarkoittaa bijektiota joukolta itselleen. Permutaatio sanana merkitsee muutosta tai vaihtoa eli jonkin joukon sisäistä muutosta, jolloin alkiot kuitenkin säilyvät ennallaan. Uusi avaamaton korttipakka on aluksi tietyssä järjestyksessä. Nyt, jos järjestystä muutetaan esimerkiksi siten, että ruutuässän tilalle laitetaankin pataässä, voidaan kuvitella ruutuässän kuvautuvan pataässäksi.

Permutaatiota voidaan tarkastella monesta eri näkökulmasta. Kun korttipakan järjestystä muutetaan tietyllä operaatiolla, voidaan sen kuvitella olevan eräänlainen permutaatio. Toisaalta permutaatio voi myös tarkoittaa saavutettua lopputulosta, johon korttipakka järjestämisoperaation jälkeen muotoutuu. Jos jonkin joukon alkiot kuvitellaan numeerisesti tiettyyn järjestykseen, voi permutaatio tarkoittaa myös järjestysnumeroiden muuttumista.

Seuraava tärkeä ryhmien pääluokka on matriisiryhmät (lineaariset ryhmät), joka nimensä mukaisesti koostuu ${\displaystyle n\times n}$ -matriiseista. Kyseisten ryhmien operaatiot tapahtuvat siis n -dimensioisessa vektoriavaruudessa. Tämän vuoksi matriisiryhmät voidaan käsitteellisesti samaistaa permutaatioryhmiin.

Translaatioryhmät ovat suljettuja rakenteensa suhteen. Jos esimerkiksi ryhmään ${\displaystyle G}$ tehdään translaatiot eli siirrot tai muutokset ${\displaystyle T}$ ja ${\displaystyle U}$, on ensin suoritettava operaatio ${\displaystyle T}$ ja sitten vasta operaatio ${\displaystyle U}$.

Käsitteellisesti translaatioryhmä voidaan samaistaa symmetriseen ryhmään. Translaatioryhmät koostuvat siis niistä kaikista translaatioista, jotka säilyttävät ryhmän yksinkertaisen rakenteen.

Ryhmäteoria kehittyi aluksi konkreettisimmista edellä mainituista ryhmäluokista. Ryhmäoperaatioita käsiteltiin siis luvuilla, permutaatioilla ja matriiseilla. Abstrakti ryhmä käsitteenä kuuluu moderniin eli abstraktiin algebraan.

Ryhmä ${\displaystyle G}$ koostuu esimerkiksi alkioista ${\displaystyle {a,b,c,..}}$. Jos ryhmä ${\displaystyle G}$ on suljettu binäärioperaation * suhteen, niin voimassa ovat seuraavat neljä ehtoa:

• 1. Operaatio * on suljettu joukossa ${\displaystyle G}$ eli kaikilla joukon ${\displaystyle G}$ alkioilla ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ on voimassa ${\displaystyle a*b}$ kuuluu joukkoon ${\displaystyle G}$.
• 2. Assosiatiivilaki on voimassa joukon ${\displaystyle G}$ alkioille ${\displaystyle a,b,c:(a*b)*c=a*(b*c).}$
• 3. Neutraalialkion ${\displaystyle e}$ olemassaolo: ${\displaystyle a*e=e*a=a}$.
• 4. Käänteisalkion ${\displaystyle a^{-1}}$ olemassaolo: ${\displaystyle a*a^{-1}=a^{-1}*a=e}$.

Abstrakti ryhmä voidaan esittää vektoriavaruuksien lineaarimuunnoksina. Tätä tapaa kutsutaan ryhmän esitykseksi.

Topologinen ryhmä ${\displaystyle G}$ koostuu topologisesta avaruudesta, jossa ryhmällä ovat voimassa seuraavat operaatiot:

• 1. ${\displaystyle G\times G\to G:(x,y)\to xy}$ ja
• 2. käänteisalkio: ${\displaystyle G\to G:x\to x^{-1}}$.

Nämä edellä mainitut operaatiot muodostavat jatkuvat funktiot.