Ryhmähomomorfismi

Ryhmähomomorfismi on luotu matematiikassa ryhmien vertailun helpottamiseksi. Olkoot (G, *) ja (H, ·), ryhmiä ja f : G → H jokin kuvaus. Kuvaus f on ryhmähomomorfismi, jos kaikilla x, y kuuluu G pätee.

${\displaystyle f(x*y)=f(x)\cdot f(y)}$

Tarkastellaan esimerkiksi luonnollisia lukuja ja niiden yhteenlaskua. Funktiolla, joka säilyttää laskutoimituksen, tulee olla seuraava ominaisuus: f(a + b) = f(a) + f(b). Huomaa, että esimerkiksi f(x) = 3x on homomorfismi, sillä f(a + b) = 3(a + b) = 3a + 3b = f(a) + f(b).

Jos f : (G, *) → (H, ·) on ryhmähomomorfismi, niin

i) f(e_G) = e_H

ii) f(a⁻¹) = f(a)⁻¹ kaikilla a ∈ G.

Lisäksi bijektiivistä ryhmähomomorfismia kutsutaan isomorfismiksi.

Jos kahden ryhmien G ja H välille voidaan määritellä isomorfismi, niin sanotaan, että ryhmät ovat isomorfiset ja merkitään G ≅ H.

Isomorfisilla ryhmillä on samanlaiset kertotaulut.