Runge–Kutta-menetelmät

Tunnetuin Runge–Kutta-menetelmistä on neljännen kertaluvun Runge–Kutta, johon viitataan lyhenteellä "RK4" ja hyvin usein pelkkänä "Runge–Kutta-menetelmänä".

Olkoon alkuarvo-ongelmana

${\displaystyle y'=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

Nyt RK4-menetelmä voidaan kirjoittaa seuraavasti:

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\frac {h}{6}}\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right)}$

${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h,}$

jossa h merkitsee käytettyä aika-askelta ja y_n+1 on RK4-menetelmän approksimaatio arvosta y(t_n+1) ja

${\displaystyle k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)}$

${\displaystyle k_{2}=f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}k_{1}\right)}$

${\displaystyle k_{3}=f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}k_{2}\right)}$

${\displaystyle k_{4}=f\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right)}$

Kertoimet k_i ovat tulkittavissa mallinnettavan funktion kulmakertoimiksi välin eri pisteissä. Arvo k₁ on kulmakerroin välin alkupisteessä, k₂ on Eulerin menetelmällä laskettu approksimaatio puolivälin kulmakertoimesta, k₃ samoin käyttäen k₁:n sijaan k₂:a laskuissa ja k₄ on k₃:a hyödyntäen laskettu kulmakertoimen arvo välin päätepisteessä. Näistä otetaan lopuksi keskiarvo painottaen puolivälin kulmakertoimia.

RK4:n tarkkuus on sen nimen mukaisesti neljättä kertalukua, eli menetelmän virhe on verrannollinen käytetyn aika-askeleen h neljänteen potenssiin. Aika-askelta kohti virhe menetelmässä on h⁵, ja koska askelia tarvitaan 1/h aikayksikköä kohden, on kokonaisvirhe verrannollinen suureeseen h⁴.

Neljännen kertaluvun Runge–Kutta-menetelmässä tarvitaan uutta arvoa laskettaessa vanhan arvon lisäksi neljä aputulosta. Tietokoneella mallintaessa tämä tarkoittaa, että muistinkäyttö menetelmällä on viisi kertaa mallinnettavan systeemin koko. Suurissa mallinnuksissa tämä saattaa merkitä hyvinkin suurta kuormaa jopa nykyisten tietokoneiden muistimäärille. Tällaista varten on kehitetty ns. Low Storage eli pienen tallennuskapasiteetin Runge–Kutta-menetelmät.

Kahta muistipaikkaa käyttävä Runge–Kutta-menetelmä voidaan esittää seuraavassa muodossa. Aluksi asetetaan

${\displaystyle dy^{0}=0}$ ja ${\displaystyle y^{0}=y_{n}.}$

Sitten lasketaan ${\displaystyle \forall i\in [0,m]}$

${\displaystyle dy^{i+1}=A_{i}dy^{i}+hf\left(y^{i}\right)}$

${\displaystyle y^{i+1}=y^{i}+B_{i}dy^{i+1}}$

ja lopuksi saadaan

${\displaystyle y_{n+1}=y^{m}.}$

Algoritmissa esiintyvä m merkitsee vaiheiden määrää ja siitä riippuu myös vakioiden A_i ja B_i arvot. Huomataan, että ohjelmakoodina algoritmissa tarvitaan vakioiden lisäksi ainoastaan muuttujat dyⁱ ja yⁱ. Artikkelissaan [4] Carpenter ja Kennedy esittelevät vakioiden A_i ja B_i johtamista sekä arvot muun muassa viisivaiheiselle kahden muistipaikan neljännen kertaluvun Runge–Kuttalle eli "(5,4) 2N-Storage RK"