Riemannin kuvauslause

Riemannin kuvauslause on Bernhard Riemannin keksimä laajennetun kompleksi­tason konformi­kuvauksia koskeva lause, joka kuuluu seuraavasti:

Olkoon A laajennetun kompleksitason yhdesti yhtenäinen alue, jolla on ainakin kaksi reunapistettä. Tällöin A on konformisesti ekvivalentti yksikkö­kiekon kanssa.[1]

Että alue on yhdesti yhtenäinen, merkitsee geometrisesti sitä, että siinä ei ole "reikiä". Kahden alueen konforminen ekvivalenttisuus taas merkitsee, että ne voidaan kuvata toisilleen sillä tavoin, että lokaali suurennussuhde on suunnasta riippumaton (joskin suurennussuhde saattaa vaihdella kuvattavan alueen eri osissa).

Riemannin kuvauslauseesta seuraa, että jokainen laajennetun tason yhdesti yhtenäinen alue on konformisti ekvivalentti joko yksikkökiekon, tason tai laajennetun tason kanssa. Jokainen tällainen alue, jolla on ainakin kaksi reunapistettä, on konformisti ekvivalentti yksikkökiekon kanssa. Toisaalta jokainen tällainen alue, joka käsittää koko laajennetun tason yhtä pistettä lukuun ottamatta, on konformisti ekvivalentti tason kanssa. Laajennettu taso itsessään taas on kompakti eikä näin ollen ole edes topo­logisesti ekvi­valentti eli homeomorfinen minkään aidon osajoukkonsa kanssa.[1]