Resultantti

Resultantti on voima, joka yksinään vaikuttaisi kappaleen liiketilaan samoin kuin kaksi tai useampi siihen vaikuttavaa voimaa yhdessä.

Kappaleen siirtoliikkeeseen vaikuttavien voimien resultantti saadaan laskemalla siihen vaikuttavat voimat yhteen vektorilaskennan sääntöjen mukaisesti. Tällainen voima vaikuttaisi kappaleen etenemisliikkeeseen samoin kuin eri voimat yhdessä vaikuttavat. Sen sijaan kappaleen pyörimisliikkeeseen vaikuttavien voimien resultanttia määritettäessä on otettava huomioon, että voimat saattavat vaikuttaa kappaleen eri kohdissa. Tietyissä tapauksissa niiden yhteisvaikutus on sama, jonka yksi voima, resultantti, saisi aikaan vaikuttaessaan jossakin tietyssä pisteessä. Kaikissa tapauksissa voimien yhteisvaikutusta ei kuitenkaan voida kuvata tällaisella resultanttivoimalla.[1]

Jos voimat vaikuttavat pistemäiseen massaan tai kappaleeseen, jonka läpimitta on niin pieni, että sitä voidaan käytännössä pitää pistemäisenä, ne voivat ainoastaan muuttaa sen nopeutta. Tässä tapauksessa voimien resultantti on aina sama kuin niiden vektorisumma, koska pyörimisliikettä ei esiinny.

Jos kappaleen läpimitta ei ole merkityksettömän pieni, voimat voivat muuttaa, paitsi kappaleen liiketilaa, myös sen muotoa, esimerkiksi venyttää tai litistää sitä. Jos kyseessä kuitenkin on jäykkä kappale, jonka eri osien väliset etäisyydet ja näin ollen sen muoto eivät muutu, kappaleeseen vaikuttavat voimat voivat muuttaa sen kappaleen etenemisliikkeen nopeutta eli sen massakeskipisteen nopeutta taikka sen pyörimisliikkeen kulmanopeutta.

Voimien yhteenlasku

Voimien yhteenlaskun kuvaaminen diagrammeilla. Vasemmalla suunnikassääntö, oikeanpuoleisessa kuvassa voimaa kuvaava jana on siirretty alkamaan toisen päästä.

Voima on vektorisuure, mikä merkitsee, että sillä on suuruus ja suunta, ja sille käytetään yleensä merkintää ${\vec {F}}$ . Graafisesti sitä kuvataan suunnatulla janalla: voiman suunta vastaa janan suuntaa, ja sen suuruus on suoraan verrannollinen janan pituuteen; on vain päätettävä, kuinka monta newtonia vastaa yhtä senttimetriä.

Vaikka vektorilaskenta kehitettiin varsinaisesti vasta 1700- ja 1800-luvulla, on väitetty, että suunnikassääntö voimien yhteenlaskemiseksi tunnettiin jo antiikin Kreikassa, ja joka tapauksessa sitä käyttivät Galilei ja Newton.[2] Piirretään annetusta pisteestä alkamaan kaksi suunnattua janaa, jotka kuvaavat kappaleeseen vaikuttavia voimia, ja täydennetään kuvio suunnikkaaksi. Tällöin suunnikkaan lävistäjä kuvaa voimien vektorisummaa. Tämä on helppo käsittää intuitiivisesti: jos kokonaisvoiman ${\vec {F}}$ on kuvattava kahden voiman yhteistä vaikutusta kappaleeseen, sen suunnan on oltava lähempänä suuremman voiman suuntaa ${\vec {F}}_{2}$ , ja mikäli voimien suunnat ovat lähellä toisiaan, summavoiman on myös oltava suurempi kuin kumpikaan niistä erikseen. Että suunnikassääntö pitää tarkoin paikkansa, on sitä paitsi helposti osoitettavissa kokeellisesti. Resultantti voidaan likimääräisesti mitata diagrammista tai laskea tarkemmin trigonometrian avulla.

Paitsi suunnikassäännöllä, voidaan sama tulos saada yksinkertaisemmin myös siten, että toinen voimia kuvaavista janoista vain siirretään alkamaan toisen päästä kuten kuvassa oikealla kuten oikeanpuoleisessa kuvassa. Tällöin vektorien summaa vastaa jana, joka johtaa ensimmäisen janan alkupisteestä jälkimmäisen loppupisteeseen. Kaavioiden alareunassa olevat kuvat vastaavat tapausta, jolloin voimat ovat saman- tai vastakkaissuuntaisia: samansuuntaisten voimien suuruudet yksinkertaisesti lasketaan yhteen, vastakkaissuuntaisista voimista taas suuremmasta vähennetään pienempi.

Vektorien yhteenlaskulla saatu voima on sellainen, joka yksinään vaikuttaessaan antaisi kappaleelle saman kiihtyvyyden, jonka se saa kaikkien huomioon otettujen voimien vaikuttaessa siihen. Jos voimat vaikuttavat kappaleen eri kohdissa, voimat yhdessä vaikuttavat kappaleen massakeskipisteen liikkeeseen samoin kuin niiden vektorisumman suuruinen voima vaikuttaisi. Ne voivat kuitenkin vaikuttaa myös kappaleen pyörimisliikkeeseen, jolloin niiden vaikutuspisteet on myös otettava huomioon.

Voimien vaikutus etenemis- ja pyörimisliikkeeseen

Vaikutuspiste

Kun voima vaikuttaa pieneen hiukkaseen, sen voidaan olettaa vaikuttavan vain yhdessä pisteessä, sillä hiukkasen tilavuus on merkityksettömän pieni. Hiukkanen on siis voiman vaikutuspiste. Silloin, kun voima vaikuttaa suurikokoiseen kappaleeseen, sen vaikutukset kappaleen pyörimisliikkeeseen riippuvat siitä, mihin kohtaan kappaleessa voima vaikuttaa. Voimien yhteisvaikutus voidaan määrittää seuraavilla tavoilla:

Usein voima vaikuttaa kappaleessa niin pieneen kohtaan, että sen vaikutusalue voidaan käsittää pistemäiseksi. Tavallisesti on helppo päätellä, onko tästä aiheutuva virhe merkitsevä.
Jos voima selvästi vaikuttaa koko kappaleeseen, kuten esimerkiksi painovoima, sen vaikutuksia voidaan kuvata korvaamalla se suurella joukolla pieniä voimia, joista kukin vaikuttaa vain yhteen pisteeseen, ja voiman vaikutukset voidaan laskea kussakin pisteessä erikseen. Tällöin kappale voidaan usein ajatella jaetuksi differentiaalisiin osiin, jolloin voidaan soveltaa integraalilaskentaa. Useissa tapauksissa voidaan kuitenkin osoittaa, että tulos on sama kuin jos koko voima vaikuttaisi vain yhdessä pisteessä; näin on laita esimerkiksi painovoiman, jos painovoimakenttä on kappaleen jokaisessa kohdassa yhtä voimakas.

Joka tapauksessa jäykän kappaleen liiketilan analysointi on aloitettava olettamalla voimien vaikuttavan vain tietyissä pisteissä. Graafisesti kappaleeseen vaikuttavaa voimaa voidaan kuvata janalla, joka alkaa tästä vaikutuspisteestä.

Jäykkä kappale

Kuinka voima kiihdyttää kappaletta

Oikealla kuvatussa esimerkissä jäykkään kappaleeseen vaikuttaa vain yksi voima ${\vec {F}}$ pisteessä H. Kappaleen massa on $m$ , ja sen massakeskipiste on C. Tällöin voima antaa kappaleelle, tarkemmin sanottuna sen massakeskipisteelle, kiihtyvyyden

{\vec {a}}={{\vec {F}} \over m}

,

mutta lisäksi kappale saa kulmakiihtyvyyden

{\vec {\alpha }}={{\vec {\tau }} \over I}

Jälkimmäisessä yhtälössä ${\vec {\tau }}$ on voiman momentti, kun taas $I$ on kappaleen hitausmomentti. Voiman ${\vec {F}}$ momentti on vektorisuure, joka on määritettävä jonkin annetun pisteen suhteen seuraavasti:

{\vec {\tau }}={\vec {r}}\times {\vec {F}}

,

tai sen suuruus voidaan määrittää myös seuraavasti:

\tau =Fk

.

Tässä vektori ${\vec {r}}$ on voiman vaikutuspisteen paikkavektori, kun origona on se piste, jonka suhteen momentti määritetään, usein (myös tässä esimerkissä) kappaleen massakeskipiste. Oheisessa kuviossa tämä paikkavektori on piirretty kappaleen keskipisteestä voiman vaikutuspisteeseen. Jana $k$ taas on voiman vaikutussuoran etäisyys massakeskipisteessä. (Jos kyseessä olisi vipu, tämä vastaisi vipuvarren pituutta.) Kuten kuviosta voidaan päätellä, voiman momentti ei muutu, jos sen vaikutuspistettä siirretään sen vaikutussuoraa eli vaikutuspisteen kautta kulkevaa voiman suuntaista suoraa pitkin, joka oheisessa kuviossa on merkitty mustalla katkoviivalla. Täsmällisemmin tämä voidaan osoittaa vektorien ristitulon ominaisuuksien vaulla, ja se osoittaa, että voiman vaikutus kappaleen pyörimisliikkeeseen riippuu vain sen vaikutussuoran sijainnista, ei siitä, missä vaikutussuoran pisteessä voima vaikuttaa.

Momenttivektori on kohtisuorassa voiman ja vektorin ${\vec {r}}$ määräämää tasoa vastaan, ja tässä esimerkissä se osoittaa kohti katsojaa. Myös kulmakiihtyvyysvektorin suunta on sama. Oikean käden säännön mukaisesti tällaisen vektorin suunta kohti katsojaa vastaa kiertoliikettä vastapäivään, suunta poispäin katsojasta taas kiertoliikettä myötäpäivään.

Kappaleen hitausmomentti $I$ on laskettava akselin suhteen, joka kulkee sen massakeskipisteen kautta ja on momentin suuntainen. Jos kappale on tasapaksu homogeeninen levy, kuten kuvion esimerkissä, sen hitausmomentti on $I=mr^{2}/2$ . Jos sen massa on 0,5 kg ja säde 0,8 m, hitausmomentti on siis 0,16 kgm². Jos siihen vaikuttava voima on 2 N ja vaikutussuoran etäisyys massakeskipisteestä (vipuvarsi) 0,6 m, on voiman momentti 1,2 Nm. Se antaa kappaleelle kulmakiihtyvyyden $\alpha =\tau /I=7,5{\frac {rad}{s^{2}}}$ ja sen massakeskipisteelle lineaarisen kiihtyvyyden a = F/m = 4 m/s².

Resultanttivoima

Resultanttivoiman graafinen määritys

Resultanttivoima on voima, jolla kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat voidaan ajatella korvattaviksi. Kun se voidaan määrittää, se tehdään seuraavien kahden vaiheen kautta:

Ensin lasketaan vektorisumma resultanttivoiman suuruuden ja suunnan määrittämiseksi;
Resultanttivoiman vaikutuspisteen määrittämiseksi käytetään seuraavaa voimien momenteista saatua yhtälöä:

{\vec {r}}\times {\vec {F}}_{R}=\sum _{i=1}^{N}({\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i})

missä ${\vec {F}}_{R}$ on se kokonaisvoima, josta saadaan resultanttivoima, kun sille löydetään oikea vaikutuspiste ja sen paikkavektori ${\vec {r}}$ . Tässä kappaleeseen vaikuttavia eri voimia on merkitty ${\vec {F}}_{i}$ ja niiden vaikutuspisteitä ${\vec {r}}_{i}$ . Kaikki momentit lasketaan saman, mielivaltaisesti valitun pisteen suhteen.

Kaikissa tapauksissa tästä yhtälöstä ei voi ratkaista paikkavektoria ${\vec {r}}$ . Sellaisissa tapauksissa ei resultanttivoimaa voida määrittää, toisin sanoen ei voi olla sellaista yhteen pisteeseen vaikuttaavaa sellaista voimaa, joka yksinään vaikuttaisi kappaleen liiketilaan samoin kuin siihen vaikuttavat eri voimat. Silloinkaan kun ${\vec {r}}$ voidaan laskea, se ei ole yksikäsitteinen, sillä voiman vaikutuspistettä voidaan vapaasti siirtää sen vaikutussuoraa pitkin.

Oheisista kaavioista käy ilmi, miten resultanttivoiman vaikutussuora voidaan graafisesti määrittää, kun kaikkien voimien vaikutussuorat ovat samassa tasossa.

Vasemmanpuoleisessa kaavioissa voimien ${\vec {F}}_{1}$ ja ${\vec {F}}_{2}$ vaikutussuorat leikkaavat toisensa. Kun voimavektorit on laskettu yhteen, resultantiksi saadaan tämän vektorisumman suuruinen voima, jonka vaikutuspisteenä on näiden vaikutussuorien leikkauspiste.[3] Kaikkien voimien momentit tämän pisteen suhteen ovat nollia, ja myös resultanttivoiman momentti minkä tahansa pisteen suhteen on eri voimien momenttien summa saman pisteen suhteen.
Keskimmäisessä kaaviossa voimat ovat yhdensuuntaisia. Kun voimat on laskettu yhteen, saadun voiman vaikutuspiste sijoitetaan suoralle, jossa se vastaa resultanttivoimaa ${\vec {F}}_{R}$ . Tämä tehdään jakamalla kukin voima komponentteihin, joiden vaikutussuorat (vaaleat katkoviivat) leikkaavat yhdessä pisteessä, joka tässä on sijoitettu kaavion oikealle puolelle.
Oikeanpuoleisessa kaaviossa kappaleeseen vaikuttaa kaksi yhtä suurta, mutta vastakkaissuuntaista voimaa. Niiden yhteisvaikutus kappaleen etenemisliikkeeseen on nolla, mutta niiden yhdessä aikaansaama momentti on $\tau =Fd$ , missä $\ d$ on niiden vaikutussuorien välinen etäisyys. Tämä on niin sanottu "puhdas" momentti, sillä resultanttivoima on nolla. Tällaisten voimien sanotaan muodostavan voimaparin.[4]

Vaikutuspiste kappaleen ulkopuolella

Vaikutussuorien leikkauspisteenä määritetty resultanttivoiman vaikutuspiste saattaa olla myös kappaleen ulkopuolella. Tällaisissa tapauksissa se voidaan usein ajatella siirrettäväksi vaikutussuoraansa pitkin kappaleen sisäpuolelle. Toisinaan tämä ei kuitenkaan ole mahdollista, sillä vaikutussuora ei kulje kappaleen läpi. Näin saattaa tapahtua esimerkiksi, jos kappale on renkaan muotoinen ja vaikutussuora kulkee sen keskellä olevan reiän kautta. Tällaisissa tapauksissa ei voimasysteemiä voida korvata yhdellä voimalla.[5]

Yhdensuuntaiset voimat ja voimapari

Kun voimat ovat yhdensuuntaisia, voidaan valita jokin niitä vastaan kohtisuora taso, johon vaikutuspisteet sijoitetaan. Jos voimia on vain kaksi, F¹ ja F², voidaan koordinaatisto valita niin, että nämä molemmat ovat x-akselilla, pisteissä x¹ ja x². Tällöin voimien resultantin vaikutuspiste on

{\frac {F_{1}x_{1}+F_{2}x_{2}}{F_{1}+F_{2}}}

[6]

Tämä lauseke pätee myös, jos voimat ovat vastakkaissuuntaisia. Tällöin on kuitenkin jompikumpi voimista ajateltava negatiiviseksi. Jos vastakkaissuuntaiset voimat kuitenkin ovat itseisarvoltaan yhtä suuria, ei näin voida menetellä, koska lausekkeen nimittäjä saa arvon nolla. Tällöin on kyseessä voimapari, jolle ei voida määrittää resultanttia.[4]

Resultanttia ei aina ole

Jos voimien vaikutussuorat eivät leikkaa toisiaan eivätkä ole yhdensuuntaisia, toisin sanoen ne eivät ole samassa tasossa, voimien yhteisvaikutusta ei myöskään yleensä voida ollenkaan kuvata yhdellä resultantanttivoimalla.[1]

Vaikka resultanttivoimaa ei kaikissa tapauksissa voida määrittää, jäykkään kappaleeseen vaikuttavat voimat voidaan aina ajatella korvattavaksi yhdellä voimalla sekä yhdellä "puhtaalla" momentilla. Tällöin tämä voima saadaan vektorien yhteenlaskuna, mutta momentin laskemiseksi tämä summavoima on sijoitettava tietylle vaikutussuoralle. Tämä vaikutussuora voidaan valita mielivaltaisesti, mutta "puhdas" momentti riippuu sen vaikutuksesta. Jos on mahdollista valita sellainen vaikutussuora, että tästä aiheutuva ylimääräinen momentti tulee nollaksi, voimat voidaan ajatella korvattavaksi resultanttivoimalla, joka saadaan voimavektorien summana.

Käytäntö

Vektorikaavio muiden kuin yhdensuuntaisten voimien yhteenlaskemiseksi

Vektorikaavio yhdensuuntaisten voimien yhteenlaskemiseksi

Vaikka resultanttivoimaa ei voida määrittää läheskään kaikille voimasysteemeille, se on käsitteellisesti merkittävä ja myös monissa käytännön sovelluksissa käyttökelpoinen käsite. Kun voimat voidaan korvata yhdellä resultanttivoimalla, kuten on laita monissa tasomaisissa systeemeissä, tämä yksinkertaistaa suuresti käytännön laskuja. Toisaalta resultantin käsite on osoitus siitä, että voimien yhteisvaikutusta ei aina voida kuvata yksinkertaisesti laskemalla ne vektoreina yhteen, sillä ne eivät välttämättä vaikuta samassa pisteessä.

Lähteet

K. V. Laurikainen, Uuno Nurmi, Rolf Qvickström, Erkki Rosenberg, Matti Tiilikainen: Lukion fysiikka 2, s. 90. WSOY, 1973. ISBN 951-0-05657-X.
Michael J. Crowe (1967). A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System. Dover Publications; Reprint edition. ISBN 0-486-67910-1
Lukion fysiikka, s. 74
Lukion fysiikka, s. 83
Lukion fysiikka, s. 75
Lukion fysiikka, s. 73

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[LukFys-1] K. V. Laurikainen, Uuno Nurmi, Rolf Qvickström, Erkki Rosenberg, Matti Tiilikainen: Lukion fysiikka 2, s. 90. WSOY, 1973. ISBN 951-0-05657-X.

[2] Michael J. Crowe (1967). A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System. Dover Publications; Reprint edition. ISBN 0-486-67910-1

[3] Lukion fysiikka, s. 74

[LF83-4] Lukion fysiikka, s. 83

[5] Lukion fysiikka, s. 75

[6] Lukion fysiikka, s. 73