Redusoitu massa

Redusoitu massa on efektiivinen inertiamassa Newtonin kahden kappaleen mekaniikassa. Newtonin II lain mukaan kahden kappaleen suhteellinen liike voidaan kuvata vain yhden massan, redusoidun massan, avulla. [1]

Oletetaan kaksi kappaletta, toinen massaltaan ${\displaystyle m_{1}\!\,}$ ja toinen ${\displaystyle m_{2}\!\,}$, jotka kiertävät kappaleiden massakeskipistettä. Vastaava yksiosaisen kappaleen ongelma, jossa kappaleen sijainti toiseen osaan nähden on tuntematon, vastaa yhden kappaleen massaa [2]

${\displaystyle m_{\text{red}}=\mu ={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{m_{1}}}+{\cfrac {1}{m_{2}}}}}={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}},\!\,}$

missä tämä massan voima on annettu kahden kappaleen välisenä vetovoimana. Tämä on vain puolet kahden massan harmonisesta keskiarvosta.

Tämä voidaan todistaa helposti. Käytetään Newtonin II lakia. Voima F, jonka kappale 2 aiheuttaa kappaleeseen 1, on

${\displaystyle F_{12}=m_{1}a_{1}.\!\,}$

Voima, jonka kappale 1 aiheuttaa kappaleeseen 2, on

${\displaystyle F_{21}=m_{2}a_{2}.\!\,}$

Newtonin III lain mukaan:

${\displaystyle F_{12}=-F_{21}.\!\,}$

Siksi,

${\displaystyle m_{1}a_{1}=-m_{2}a_{2}.\!\,}$

ja

${\displaystyle a_{2}=-{m_{1} \over m_{2}}a_{1}.\!\,}$

Kahden kappaleen välinen suhteellinen kiihtyvyys on annettu

${\displaystyle a=a_{1}-a_{2}=\left({1+{m_{1} \over m_{2}}}\right)a_{1}={{m_{2}+m_{1}} \over {m_{1}m_{2}}}m_{1}a_{1}={F_{12} \over m_{\text{red}}}.}$

Tästä voidaan päätellä, että kappale 1 liikkuu suhteessa kappaleen 2 paikkaan kuin yhden kappaleen massa suhteessa redusoituun massaan.

Redusoitua massaa yleisesti merkitään kreikkalaisella kirjaimella ${\displaystyle \mu .\!\,}$

Redusoitu massa on aina vähemmän tai yhtä paljon kuin jokaisen kappaleen massa.