Ratkeava ryhmä

Osoitetaan, että kaksi edellä esitettyä määritelmää ovat todella yhtäpitävät. Oletetaan aluksi, että ryhmä G on ratkeava ensimmäisen määritelmän mielessä. Eräs derivaattaryhmien perusominaisuus on se, että H' on H:n (aito tai epäaito) normaali aliryhmä, eli ${\displaystyle H'\triangleleft H}$ kaikilla ryhmillä H. Näin ollen ratkeavuuden ensimmäisen määritelmän nojalla saadaan ${\displaystyle \{1\}=G^{(n)}\triangleleft G^{(n-1)}\triangleleft \cdots \triangleleft G'\triangleleft G}$ jollain n, missä siis G^(k) on G:n kertalukua k oleva derivoitu ryhmä. Saatu jono on G:n kompositiojono ja sen tekijät G^(k-1)/G^(k) ovat derivaattaryhmien perusominaisuuksien nojalla Abelin ryhmiä. Siispä ensimmäisestä määritelmästä seuraa toinen.

Oletetaan sitten, että ryhmä G on ratkeava toisen määritelmän mukaan, jolloin siis on olemassa normaalijono ${\displaystyle \{1\}=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft A_{r-1}\triangleleft A_{r}=G}$, jolla tekijät A_i/A_i-1 ovat Abelin ryhmiä. Tässä kohtaa hyödynnetään taas yhtä derivaattaryhmien perustavanlaatuisista ominaisuuksista, nimittäin sitä, että jos mielivaltaisen ryhmän H aliryhmä F on normaali ja tekijäryhmä ${\displaystyle H/F}$ on Abelin ryhmä, niin H' on F:n aliryhmä. Tätä tietoa käyttäen nähdään, että G' ≤ A_r-1. Aliryhmärelaatiot säilyvät ryhmiä derivoitaessa ${\displaystyle \left(H\leq G\Rightarrow H'\leq G'\right)}$, joten tästä seuraa myös G⁽²⁾ ≤ A_r-2, G⁽³⁾ ≤ A_r-3 ja niin edelleen. Lopulta saadaan G^(r) ≤ A₀ = {1}. Siispä G^(r) = {1}, eli G ratkeava myös ensimmäisen määritelmän mielessä. Näin ollen määritelmät ovat yhtäpitävät.[1]

• Symmetrinen ryhmä S_n on ratkeava tarkalleen silloin, kun 1 ≤ n ≤ 4.
• Äärellinen ryhmä on ratkeava tarkalleen silloin, kun sen kompositiotekijät ovat syklisiä ryhmiä, joiden kertaluku on alkuluku.[3]
  • Jos erityisesti äärellisen ryhmän kertaluku on jonkin alkuluvun potenssi (ks. p-ryhmä), niin ryhmä on ratkeava.[4]
  • Burnsiden lauseen mukaan äärellinen ryhmä G, jonka kertaluku on muotoa #G = p^aq^b, missä p ja q ovat alkulukuja on aina ratkeava.
  • Burnsiden otaksuman (todistettu oikeaksi v. 1963) mukaan jokainen äärellinen paritonta kertalukua oleva ryhmä on ratkeava.
  • Kolmella alkuluvulla jaollinen ryhmä ei aina ole ratkeava. Edellisen kohdan perusteella kertaluvun on tällöin oltava parillinen.
• Abelin ryhmät ovat aina ratkeavia, sillä niillä G' = {1}.[5]

• Humphreys, John F.: A Course in Group Theory. Oxford: Oxford University Press, 1996. ISBN 0-19-853459-0. (englanniksi)