QR-hajotelma

QR-hajotelma on eräs matriisihajotelma, jolla siis pyritään ilmaisemaan annettu matriisi jollakin tavoin yksinkertaisempien matriisien tulona.[1] QR-hajotelma voidaan muodostaa mille tahansa matriisille. Kompleksikertoimisen ${\displaystyle m\times n}$-matriisin ${\displaystyle A}$ QR-hajotelma on tulo

${\displaystyle A=QR\,}$,

missä ${\displaystyle Q}$ on ${\displaystyle m\times m}$ unitaarimatriisi ja ${\displaystyle R}$ on ${\displaystyle m\times n}$ yläkolmiomatriisi. Erityisesti reaalikertoimisen matriisin A tapauksessa ${\displaystyle Q}$ on ortogonaalimatriisi. Koska kahden kolmiomatriisin tulo on myös kolmiomatriisi, QR-hajotelma voi sisältää myös useita yläkolmiomatriiseja, jolloin

${\displaystyle A=QR_{1}R_{2}R_{3}...\,}$

Hajotelma voidaan teoreettisesti perustaa Gramin–Schmidtin ortonormeeraukseen, mutta käytännössä se muodostetaan kertomalla vasemmalta joko Householderin peilausmatriiseilla tai Givensin rotaatiomatriiseilla.

QR-hajotelma on erittäin käyttökelpoinen työkalu lineaariavaruuksien projektioiden käsittelyssä ja sitä käytetään yleisesti myös matriisien numeerisessa käsittelyssä. QR-hajotelmasta voidaan päätellä matriisin rangi eli kuva-avaruuden dimensio ja hajotelman matriisista ${\displaystyle Q}$ löytyy myös kuva-avaruuden kanta ortonormeerattuna.