Pythagoraan lause

^selvennä

Eräs Pythagoraan lauseen todistus animoituna.

Pythagoraan lauseelle on olemassa satoja todistuksia. On myös perustettu järjestö, joka kerää todistuksia kyseiselle lauseelle. Seuraavassa eräs tapa todistaa lause paikkansapitäväksi[2]:

Todistus: Olkoon suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ${\displaystyle c}$ ja kateetit ${\displaystyle a}$ sekä ${\displaystyle b}$. Osoitetaan, että hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin kateettien neliöiden summa.

Piirretään neliö ${\displaystyle ABCD}$, jonka yhden sivun pituus on suorakulmaisen kateettien summa eli ${\displaystyle a+b}$. Valitaan neliön sivuilta pisteet ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$ ja ${\displaystyle H}$ niin, että ${\displaystyle AE=BF=CG=DH=a}$. Silloin ${\displaystyle EB=FC=GD=HA=b}$, ja suorakulmaiset kolmiot ${\displaystyle AEH}$, ${\displaystyle BFE}$, ${\displaystyle CGF}$ ja ${\displaystyle DHG}$ ovat yhteneviä. Siis ${\displaystyle HE=EF=FG=GH=c}$. Edelleen ${\displaystyle \angle AHE=\angle BEF}$ ja ${\displaystyle \angle HEF=180^{\circ }-(\angle AEH+\angle BEF)=180^{\circ }-(\angle AEH+\angle AHE)}$. Koska kolmio ${\displaystyle AEH}$ on suorakulmainen, ${\displaystyle \angle AEH+\angle AHE=90^{\circ }}$. Siis ${\displaystyle \angle HEF=90^{\circ }}$. Samalla tavalla nähdään, että nelikulmion ${\displaystyle EFGH}$ muutkin kolme kulmaa ovat suoria kulmia. Nelikulmio ${\displaystyle EFGH}$ on siis neliö, ja sen ala on ${\displaystyle c^{2}}$.

Jokaisen neljän yhtenevän suorakulmaisen kolmion ala on ${\displaystyle {\frac {1}{2}}ab}$. Neliön ${\displaystyle ABCD}$ ala on ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab}$. Toisaalta neliön ${\displaystyle ABCD}$ ala on ${\displaystyle c^{2}+4\cdot {\frac {1}{2}}ab=c^{2}+2ab}$. Siis ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$.

Yksinkertaisin todistus. Luultavasti yksinkertaisin Pythagoraan lauseen todistus nojautuu tietoon, jonka mukaan yhdenmuotoisten monikulmioiden alojen suhde on sama kuin niiden minkä tahansa vastinsivujen neliöiden suhde. Jos suorakulmaiseen kolmioon ${\displaystyle ABC}$, missä ${\displaystyle \angle BCA=90^{\circ }}$, piirretään korkeusjana ${\displaystyle CD}$, niin kolmiot ${\displaystyle ABC}$, ${\displaystyle BCD}$ ja ${\displaystyle CAD}$ ovat yhdenmuotoisia suorakulmaisia kolmioita. Niissä ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$ ja ${\displaystyle AC}$ ovat vastinsivuja. Kolmioiden alat ovat ${\displaystyle k\cdot AB^{2}}$, ${\displaystyle k\cdot BC^{2}}$ ja ${\displaystyle k\cdot AC^{2}}$, missä ${\displaystyle k}$ on jokin verrannollisuuskerroin. Koska kolmioista ensimmäisen ala on sama kuin kahden jälkimmäisen alojen summa, on

${\displaystyle k\cdot AB^{2}=k\cdot BC^{2}+k\cdot AC^{2}}$.

Kun ${\displaystyle k}$ supistetaan pois, saadaan Pythagoraan lause.

Vielä eräs tapa Pythagoraan lauseen todistamiseksi on esitetty ohessa animaationa.

Pythagoraan lauseelle käänteinen väittämä on myös voimassa: jos kolmion kahden lyhemmän sivun neliöiden summa on yhtä kuin pisimmän sivun neliö, on kolmio suorakulmainen. Esimerkiksi ${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$, joten on olemassa suorakulmainen kolmio, jonka sivut ovat 3, 4 ja 5 yksikköä pitkät. Tätä tietoa on arveltu egyptiläisten pyramidien rakentajien käyttäneen suoran kulman määrittämiseen: lenkiksi liitetty pitkä solmunaru, jossa oli yhteensä 12 solmua tasavälein, vedettiin kolmioksi, jossa oli kolmen, neljän ja viiden solmuvälin sivut, ja näin saatiin aikaan suora kulma.

Pythagoraan lauseen käänteislause on helppo todistaa epäsuorasti Pythagoraan lauseeseen nojautumalla.

1. Pythagorean theorem Encyclopaedia Britannica. Viitattu 17.7.2008. (englanniksi)
2. Pekka Kontkanen: ”3.2 Kolmio”, Pyramidi 3, s. 35. Tammi, 2005. ISBN 951-26-5059-2.

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 326–327. Suomentanut Virpi Kauko. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

• Opetus TV: Pythagoraan lause

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Pythagoraan lause Wikimedia Commonsissa