Pythagoraan kolmikko
Pythagoraan kolmikko on joukko, joka koostuu kolmesta positiivisesta kokonaisluvusta a, b ja c siten, että a2 + b2 = c2. Kolmikko ilmoitetaan yleensä muodossa (a, b, c), ja yksi tällainen esimerkki on (3, 4, 5). Jos (a, b, c) on Pythagoraan kolmikko, myös (ka, kb, kc) on sellainen jokaiselle positiiviselle kokonaisluvulle k.
Pythagoraan kolmikon nimi juontuu Pythagoraan lauseesta, jonka ratkaisu jokainen Pythagoraan kolmikko on. Kuitenkaan Pythagoraan lauseen kaikki ratkaisut eivät ole Pythagoraan kolmikoita. Esimerkiksi a = b = 1 ja c = √2 on Pythagoraan lauseen yksi ratkaisu, mutta (1, 1, √2) ei ole Pythagoraan kolmikko, koska √2 ei ole kokonaisluku vaan irrationaaliluku.
Jaottomat Pythagoraan kolmikot
Pythagoraan kolmikko on jaoton, jos a ja b ovat keskenään jaottomia. Seuraavien jaottomien Pythagoraan kolmikoiden hypotenuusa (c) on pienempi kuin 100:[1][2][3]
| (3, 4, 5) | (5, 12, 13) | (8, 15, 17) |
| (7, 24, 25) | (20, 21, 29) | (12, 35, 37) |
| (9, 40, 41) | (28, 45, 53) | (11, 60, 61) |
| (16, 63, 65) | (33, 56, 65) | (48, 55, 73) |
| (13, 84, 85) | (36, 77, 85) | (39, 80, 89) |
| (65, 72, 97) |
Muunnelmia
Joukkoa, joka koostuu neljästä positiivisesta kokonaisluvusta a, b, c ja d, jotka ratkaisevat yhtälön a2 + b2+ c2 = d2, kutsutaan Pythagoraan nelikoksi.
Ranskalainen matemaatikko Pierre de Fermat väitti vuonna 1637, ettei ole olemassa positiivisista kokonaisluvuista a, b ja c koostuvaa kolmikkoa, joka ratkaisisi yhtälön an + bn = cn, missä n on kahta suurempi kokonaisluku. Väittämä tunnetaan Fermat'n suurena lauseena, jonka todisti Andrew Wiles vuonna 1995.
On olemassa neljän positiivisen kokonaisluvun a, b, c ja d joukkoja, jotka ratkaisevat yhtälön a3 + b3+ c3 = d3. Pienin tällainen joukko on (3, 4, 5, 6).
Lähteet
- MathWorld: Pythagorean Triple (englanniksi)