Pyörähdyskappale

Pyörähdyskappale on kolmiulotteinen kappale, jonka voidaan ajatella syntyvän jonkin käyrän rajoittaman tasoalueen pyörähtäessä avaruudessa jonkin kiinteän suoran, akselin ympäri.

Käyrän pyörähtäessä syntyvä pyörähdyskappale ja sitä rajoittava pyörähdyspinta

Monet astiat, esimerkiksi tavallinen Punaviinilasi, ovat muodoltaan pyörähdyskappaleita

Yksinkertaisimpia pyörähdyskappaleita ovat lieriö ja kartio. Lieriö syntyy kahden suoran välisen alueen pyörähtäessä toisen suoran ympäri, kartio taas janan pyörähtäessä sen toisen päätepisteen kautta kulkevan suoran ympäri. Ympyrän pyörähtäessä halkaisijansa ympäri syntyy pyörähdyskappaleena pallo. Jos ympyrä pyörähtää kokonaan sen ulkopuolella olevan suoran ympäri, saadaan renkaan tai munkkirinkelin muotoinen, toruspinnan rajoittama kappale.[1] Ellipsin pyörähtäessä isoakselinsa ympäri syntyy pyörähdysellipsoidi.

Käytännössä pyörähdyskappaleita ovat muodoltaan monet astiat sekä yleensä sorvin avulla valmistetut esineet.

Pyörähdyskappaleet ovat symmetrisiä kaikkien akselin ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen. Niiden poikkileikkaus akselia vastaan kohtisuorilla tasoilla on ympyrä.

Pyörähdyskappaleen rajapinta on pyörähdyspinta.

Tilavuus

Mikäli pyörähtävää aluetta rajoittava käyrä voidaan esittää jonkin funktion kuvaajana, voidaan pyörähdyskappaleen tilavuus määrittää integraalilaskennan avulla. Oletetaan, että f on välillä [a,b] jatkuva positiivinen funktio ja että pyörähtävää aluetta A rajoittavat käyrä y = f(x) sekä suorat y=0, x=a ja y=b. Tällöin alueen A pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyy pyörähdyskappale, johon kuuluvat pisteet (x,y,z) toteuttavat epäyhtälöt

a<x<b

x^{2}+y^{2}<f(x)^{2}

Tämän pyörähdyskappaleen tilavuus on[2]

\pi \int _{a}^{b}\!f(x)^{2}\,dx\,

.

Korkeammissa ulottuvuuksissa

Jos käyrä y=f(x) pyörähtää x-akselin ympäri (n+1)-ulotteisessa avaruudessa, on x-akseli kohtisuoraan n-ulotteista avaruutta vastaan, jolloin jokainen käyrän piste rajaa n-ulotteisen pallon tilavuuden. Tämän pyörähdyskappaleen tilavuus on

{\tfrac {\pi ^{\tfrac {n}{2}}}{\Gamma ({\tfrac {n}{2}}+1)}}\int _{a}^{b}f(x)^{n}dx

Missä $\Gamma$ on gammafunktio.

Pyörähtääkseen on kappaleen kunkin pisteen rajattava pallopinta. Tämän pallopinnan ulottuvuudet määräävät ne koordinaattiakselit, jotka ovat kohtisuorassa pyörähdyksen akselia vastaan. Esimerkiksi kun käyrä $y=f(x)$ pyörähtää $x,y,z$ -avaruudessa x-akselin ympäri, rajaa jokainen sen piste $y,z$ -tason suuntaisen ympyrän. Tästä seuraa, että n-ulotteisessa avaruudessa pyörähdyksen akselin ei välttämättä ole oltava suora, vaan se voi olla enintään $(n-2)$ -ulotteinen. Esimerkiksi $x,y,z,w$ -avaruudessa $x,y$ -tason ympäri pyörähtävän kappaleen pisteet rajaavat kukin ympyrän $z,w$ -tasossa.

Lähteet

Ynge Lehtosaari, Jarkko Leino: Matematiikka 11, s. 199. Kirjayhtymä, 1974. ISBN 951-26-0078-1.
Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta 1, s. 280-281. Kirjayhtymä, 1977. ISBN 951-26-0936-3.

Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Pyörähdyskappale Wikimedia Commonsissa

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Ynge Lehtosaari, Jarkko Leino: Matematiikka 11, s. 199. Kirjayhtymä, 1974. ISBN 951-26-0078-1.

[2] Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta 1, s. 280-281. Kirjayhtymä, 1977. ISBN 951-26-0936-3.