Puristuskerroin

Atomien välinen potentiaali (vasemmanpuoleinen kuvio) ja voima (oikeanpuoleinen kuvio)

Koska lineaarinen elastisuus on suora seuraus atomien välisistä vuorovaikutuksista, se liittyy niiden välisten sidosten laajenemiseen tai kokoonpuristumiseen. Kiteisillä aineilla se voidaan sen vuoksi johtaa atomien välisestä potentiaalista.[10]

Tarkastellaan ensin kahden vuorovaikuttavan atomin muodostaman systeemin potentiaalienergiaa. Jos ne aluksi ovat hyvin kaukana toisistaan, niiden välillä vallitsee vetovoima. Kun ne lähestyvät toisiaan, niiden potentiaalienergia pienenee. Toisaalta atomien ollessa hyvin lähellä toisiaan niiden potentiaalienergia on niiden välisen poistovoiman vuoksi hyvin korkea. Yhdessä nämä potentiaalit saavat aikaan, että on olemassa atomien välinen etäisyys, jossa niiden potentiaalienergia on minimissään. Tämä tapahtuu sellaisella etäisyydellä a₀, missä veto- ja poistovoimat kumoavat toisensa eli niiden summa on nolla:

${\displaystyle F=-{\partial U \over \partial r}=0}$

missä U on atomien välinen potentiaali ja r niiden välinen etäisyys. Tämä merkitsee, että atomit ovat tasapainossa.

Tämän kahden atomin mallin laajentamiseksi kiinteään kappaleeseen käsitellään yksinkertaista mallia, aluksi yksiulotteista atomien ketjua, jossa atomien välinen etäisyys on a ja tasapainoetäisyys a₀. Sen potentiaalienergian riippuvuus etäisyydestä on muodoltaan samankaltainen kuin kahden atomin tapauksessakin, ja se saa miniminsä kohdassa a₀. Potentiaalienergian Taylorin kehitelmä on:

${\displaystyle u(a)=u(a_{0})+\left({\partial u \over \partial r}\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}+O\left((a-a_{0})^{3}\right)}$.

Tasapainossa lausekkeen ensimmäinen derivaatta on 0, joten hallitsevana on sarjan seuraava, neliöllinen termi. Kun poikkeama tasapainoasemasta on pieni, korkeamman kertaluvun termit voidaan jättää huomioon ottamatta. Lauseke saa muodon:

${\displaystyle u(a)=u(a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}}$

${\displaystyle F(a)=-{\partial u \over \partial r}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})}$

mikä selvästi kuvaa lineaarista kimmoisuutta.

Derivointi on suoritettu käsittelemällä kahta vierekkäistä atomia, jolloin Hooken kerroin on:

${\displaystyle K=a_{0}*{dF \over dr}=a_{0}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}}$

Tämä kaava voidaan helposti laajentaa kolmiulotteiseen tapaukseen, jossa atomien välisen etäisyyden sijasta käytetään atomitilavuutta (Ω). Tällöin saadaan:

${\displaystyle K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)_{\Omega =\Omega _{0}}}$

Edellä olevassa tarkastelussa puristuskerroin liittyy suoraan atomien väliseen potentiaaliin ja atomitilavuuteen. Atomien välisen potentiaalin tarkastelua voidaan edelleen kehittää, jotta saadaan yhteyksiä puristuskertoimen ja aineen muiden ominaisuuksien välille. Yleensä atomien välinen potentiaali voidaan esittää etäisyyden funktiona, jossa on kaksi termiä, toinen vetävälle ja toinen hylkivälle voimalle:

${\displaystyle u=-Ar^{-n}+Br^{-m}}$

missä A > 0 esittää vetävää ja B > 0 hylkivää voimaa. Yleensä n ja m ovat kokonaislukuja, josta m on suurmempi kuin n, sillä hylkivä voima vaikuttaa vain pienillä etäisyyksillä. Tasapainossa u saa pienimmän arvonsa, jolloin sen ensimmäinen derivaatta on 0:

${\displaystyle \left({\partial u \over \partial r}\right)_{r_{0}}=Anr^{-n-1}+-Bmr^{-m-1}=0}$

${\displaystyle {B \over A}={n \over m}r_{0}^{m-n}}$

${\displaystyle u=-Ar^{-n}\left(1-{B \over A}r^{n-m}\right)=-Ar^{-n}\left(1-{n \over m}r_{0}^{m-n}r^{n-m}\right)}$

Luku n on tavallisesti välillä 1...6, m taas välillä 9..12. Kun r on lähellä tasapainoetäisyyttä r₀, jälkimmäinen termi voidaan jättää huomioon ottamatta ja lauseen toiselle derivaatalle saadaan arvo

${\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}=-An(n+1)r_{0}^{-n-2}}$.

Koska atomin säteen r ja tilavuuden Ω välillä on yhteys

${\displaystyle \Omega ={4\pi \over 3}r^{3}}$,

saadaan

${\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)\left({\partial r \over \partial \Omega }\right)^{2}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)\Omega ^{-{\frac {4}{3}}}}$

ja edelleen

${\displaystyle K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2}u \over \partial r^{2}}\right)_{\Omega =\Omega _{0}}\propto r_{0}^{-n-3}}$.

Monissa tapauksissa, esimerkiksi metalleilla ja ioniyhdisteillä, vetävä voima on sähköstaattinen, jolloin n = 1 ja saadaan:

${\displaystyle K\propto r_{0}^{-4}}$

Tämä pätee atomeille, joilla on samankaltaiset sidosominaisuudet. Tämä yhteys on voitu todentaa alkalimetalleilla ja monilla ioniyhdisteillä.[11]