Puolisuunnikas

Puolisuunnikkaan sivut ovat yleensä eripituiset, mutta vähintään kaksi niistä on oltava yhdensuuntaisia. Kuviossa ne ovat sivut AB = a ja CD = c. Yhdensuuntaisia sivuja kutsutaan kannoiksi ja sivuja AD = d ja BC = b kutsutaan kyljiksi.[5][6]

Lävistäjät piirretään kulmasta vastakkaiseen kulmaan, joten niitä on kaksi: BD = q ja AC = r. Ne leikkaavat toisensa pisteessä E, joka jakaa kummankin lävistäjän samassa suhteessa osiin: AE : EC = BE : ED = a : c.[4]

Bimediaanit piirretään sivun keskipisteestä vastakkaisen sivun keskipisteeseen. Niitäkin on kaksi, joista m piirretään kantojen välille ja n kylkien välille. Kylkien välistä bimediaania kutsutaan englanninkielisessä kirjallisuudessa myös nimellä "median" ja se on yhdensuuntainen kantojen kanssa (a || m || c). Bimediaanit leikkaavat toisensa pisteessä F. Lävistäjien keskipisteet R ja Q sijaitsevat aina puolisuunnikkaan kylkiä yhdistävällä bimediaanilla n ja leikkauspiste E sijaitsee aina kannat yhdistävällä bimediaanilla m. Leikkauspisteet E ja F sijaitsevat yleensä eri kohdissa.[2][4]

Bimediaanien leikkauspisteen F fysikaalinen tulkinta liittyy painopisteeseen. Jos nelikulmien kärkiin sijoitetaan samansuuruiset painot, on F näiden painojen geometrinen painopiste. Tämä ominaisuus on yhteinen kaikille nelikulmioille.[7]

Puolisuunnikkaan korkeudella tarkoitetaan kantojen AB ja CD välistä etäisyyttä. Korkeusjana on mikä tahansa kantojen tai niiden jatkeiden välinen normaalin suuntainen jana. Se merkitään h = h_ac.

Puolisuunnikkaan sisäkulmien summa on α + β + γ + δ = 360°. Sisäkulmat ovat yleensä eri suuruiset. Ulkokulmat ovat sisäkulmien suplementtikulmat eli esimerkiksi kärjessä B on ι = 180° − β.[5]

Lävistäjät erottavat sisäkulmista kannan ja lävistäjän välisen kulman (neljä kappaletta), jotka ovat ristikkäin saman suuruiset: ${\displaystyle \scriptstyle \measuredangle BDC=\measuredangle DBA=\phi }$ ja ${\displaystyle \scriptstyle \measuredangle BAC=\measuredangle DCA=\omega .}$ Usein on ${\displaystyle \scriptstyle \phi \neq \omega .}$ Näiden yhtäsuuruuksien vuoksi kolmiot ΔAEB ja ΔCED ovat yhdenmuotoiset.

Lävistäjät leikkaavat toisensa pisteessä E kulmassa ε tai θ, jotka ovat toistensa vieruskulmia eli ε + θ = 180°. Molemmilla kulmilla on ristikulmat, mikä on merkitty näkyviin kulmalle ε.

Bimediaanit leikkaavat toisensa pisteessä F kulmassa ζ. Silläkin on luonnollisella tavalla risti- ja vieruskulmat.

${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}$ (puolipiiri) [2]

${\displaystyle w={\sqrt {(-a+b+c+d)(a+b-c+d)(a+b-c-d)(a-b-c+d)}}}$ [2]

${\displaystyle =4{\sqrt {(s-a)(s-c)(s-b-c)(s-c-d)}}}$ [2]

${\displaystyle h=h_{ac}={\frac {w}{2|c-a|}}}$ (korkeus) [2]

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {ac^{2}-a^{2}c-ad^{2}+cb^{2}}{|c-a|}}}}$ (lävistäjä) [2]

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {ac^{2}-a^{2}c-ab^{2}+cd^{2}}{|c-a|}}}}$ (lävistäjä) [2]

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}(a+c)}$ (kylkien välinen bimediaani) [2]

Puolisuunnikkaan pinta-ala voidaan laskea esimerkiksi kylkiä yhdistävän bimediaanin avulla. Kylkien välinen bimediaani n on yhdensuuntaisten sivujen a ja c pituuksien keskiarvo. Pinta-alan laskeminen yksinkertaistuu ja palautuu n leveän ja h korkeaan suorakulmion laskemiseen: [8][9][6][2]

${\displaystyle A=nh={\frac {(a+c)}{2}}h.}$

Pinta-ala voidaan laskea, vaikka tunnetaan vain sivujen pituudet (yhdensuuntaisia ovat a || c):[2]

${\displaystyle A={\frac {a+c}{4|c-a|}}{\sqrt {(a+b-c+d)(a-b-c+d)(a+b-c-d)(-a+b+c+d)}}}$

Puolisuunnikas voidaan jakaa neljäksi kolmioksi lävistäjien AC = r ja BD = q avulla, jolloin nämä leikkaavat toisensa pisteessä E. Tällöin kylkien puoleiset kolmiot ovat pinta-alaltaan yhtä suuret (ΔAED = ΔBEC). Lisäksi kylkien puoleisten kolmioiden alojen tulo on yhtäsuuri kuin kantojen puoleisten kolmioiden alojen tulo (ΔAED × ΔBEC = ΔAEB × ΔCED). Kahden vierekkäisen kolmion pinta-alojen suhde on yhtä suuri kuin yhdensuuntaisten sivujen suhde: ΔAEB : ΔAED = ΔAEB : ΔBEC = ΔBEC : ΔCED = ΔAED : ΔCED = a : c.[2]

Tasakylkinen puolisuunnikas

Tasakylkisessä puolisuunnikkaassa kyljet ovat yhtä pitkät, jolloin myös kantakulmat ovat yhtä suuret. Samalla puolisuunnikas muuttuu symmetriseksi ja kannat yhdistävä bimediaani on tällöin symmetria-akselina. Se on myös syklinen monikulmio, jonka ympäröivän ympyrän keskipiste sijaitsee symmetria-akselilla.[10][5][11]

Suorakulmainen puolisuunnikas

Suorakulmaisella puolisuunnikkaalla on kaksi suoraa kulmaa, joita yhdistää toinen korkeusjanaksi kutsuttava kylki. Kantojen toinen kulma on siten suora.[12]

Suunnikas ja neljäkäs ovat puolisuunnikkaiden erikoistapauksia, koska niillä on kaksi yhdensuuntaista sivuparia (jos käytetään määritelmää: vähintään yksi yhdensuuntainen sivupari). Lisäksi ne ovat tasakylkisiä puolisuunnikkaita.[5][13][14]

• 
  Suunnikas
• 
  Neljäkäs

Suorakulmio ja neliö ovat suunnikkaana myös puolisuunnikkaita. Ne ovat erityisesti tasakylkisiä ja suorakulmaisia puolisuunnikkaita.[15][16]

• 
  Suorakulmio
• 
  Neliö