Predikaattilogiikka

Syntaksi on se osa predikaattilogiikkaa, jossa kiinnostuksen kohteena ovat vain merkkijonot ja niiden ominaisuudet (ks. myös kalkyyli). Pelkästään syntaktisten piirteiden perusteella voidaan määritellä millaisia lauseet ovat ja millaista on pätevä päättely predikaattilogiikassa.

Aakkosto

Määritelmä. Predikaattilogiikan aakkosto koostuu seuraavista symboleista:

Merkitys	Merkintä
konnektiivit	${\displaystyle \neg ,\wedge ,\vee ,\to ,\leftrightarrow \,\!}$
sulkeet	${\displaystyle (,)\,\!}$
kvanttorit	${\displaystyle \forall ,\exists \,\!}$
identiteettisymboli	${\displaystyle \equiv \,\!}$
relaatiosymbolit	${\displaystyle R_{0},R_{1},R_{2},\ldots \,\!}$
funktiosymbolit	${\displaystyle f_{0},f_{1},f_{2},\ldots \,\!}$
muuttujat	${\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2},\ldots \,\!}$
yksilövakiot	${\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2},\ldots \,\!}$

Predikaattilogiikassa merkitään lisäksi kaavamuuttujia symboleilla ${\displaystyle \phi ,\psi ,\ldots \,\!}$, tai symboleilla A, B, ... .

Luonnollinen päättely

Luonnollisen päättelyn systeemissä päättelyn premissit kirjoitetaan viivan päälle, johtopäätös viivan alle. Päättelyjä voi yhdistää toisiinsa kirjoittamalla niitä peräkkäin. Luonnollisen päättelyn päättelysäännöt vastaavat tuonti- ja eliminointisäännöt kaikille konnektiiveille:

1. Negaation tuonti- ja eliminointisäännöt.

${\displaystyle {\frac {A\land \neg A}{\neg B}}\ \neg T\ (*\qquad {\frac {\neg \neg A}{A}}\ \neg E}$

2. Konjunktion tuonti- ja eliminointisäännöt.

${\displaystyle {\frac {\begin{matrix}A&B\end{matrix}}{A\land B}}\ \land T\qquad {\frac {A\land B}{A}}\ \land E}$

3. Kaikilla-kvanttorin tuonti- ja eliminointisäännöt.

${\displaystyle {\frac {A}{\forall xA}}\ \forall T\ (**\qquad {\frac {\forall xA}{A(x/t)}}\ \forall E}$

Huomautuksia: *) Jos B on hylkäämätön oletus, se voidaan hylätä. **) Muuttuja x ei saa esiintyä vapaana missään kaavan A todistuksen hylkäämättömässä oletuksessa.

Malliteoriassa tarkastellaan kieltä semanttisesta näkökulmasta. Malli on joukko-opillinen struktuuri, joka toimii logiikan kaavojen tulkintana Tarskin totuusmääritelmän mukaisesti.

Tarskin totuusmääritelmä. Olkoon ${\displaystyle L}$ aakkosto ja ${\displaystyle \phi \,L}$-kaava. Olkoon ${\displaystyle {\mathcal {M}}\,L}$-struktuuri ja ${\displaystyle s}$ sen tulkintajono, ts. ${\displaystyle s\colon \mathbb {N} \rightarrow {\mathcal {M}}}$. Tällöin kaavan ${\displaystyle \phi }$ totuus mallissa ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ tulkintajonolla ${\displaystyle s}$, merk. ${\displaystyle {\mathcal {M}},s\models \phi }$, määritellään seuraavasti:

1. ${\displaystyle \phi =P(t_{0},\ldots ,t_{n}):\,(t_{0}^{{\mathcal {M}},s},\ldots ,t_{n}^{{\mathcal {M}},s})\in P^{\mathcal {M}},}$
2. ${\displaystyle \phi =\neg \psi$ :\,{\mathcal {M}},s\not \models \psi ,}
3. ${\displaystyle \phi =\psi \rightarrow \theta$ :\,{\mathcal {M}},s\not \models \psi } tai ${\displaystyle {\mathcal {M}},s\models \theta ,}$
4. ${\displaystyle \phi =\forall v_{i}\psi$ :\,{\mathcal {M}},s(a/i)\models \psi } kaikilla ${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}}$.

Jos ${\displaystyle \Sigma \,\!}$ on joukko ${\displaystyle L}$-kaavoja ja ${\displaystyle {\mathcal {M}},s\models \phi }$ kaikilla ${\displaystyle \phi \in \Sigma }$, niin merkitään ${\displaystyle {\mathcal {M}},s\models \Sigma }$.

Malliteoriassa todistukselle rinnakkainen käsite on looginen seuraaminen. Jos kaikille niille malleille ${\displaystyle {\mathcal {M}}\,\!}$ ja tulkintajonoille ${\displaystyle s\,\!}$, joille pätee ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models _{s}\Sigma \,\!}$, pätee myös ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models _{s}\phi \,\!}$, sanotaan kaavan ${\displaystyle \phi \,\!}$ seuraavan loogisesti kaavajoukosta ${\displaystyle \Sigma \,\!}$. Tämä merkitään ${\displaystyle \Sigma \models \phi \,\!}$.

Malliteorian tärkeä nimi: Alfred Tarski.

Logiikassa pyritään eheään ja täydelliseen aksiomaattiseen järjestelmään. Eheydellä tarkoitetaan sitä, että tosista lauseista tietyn päättelysysteemin nojalla päätellyt lauseet ovat nekin tosia. Täydellisyydellä taas tarkoitetaan sitä, että kaikki ne lauseet, jotka ovat aina tosia tiettyjen lauseiden ollessa tosia, ovat jälkimmäisistä pääteltävissä. Jos tietty logiikan järjestelmä on sekä eheä että täydellinen, vastaavat todistusteoria ja malliteoria toisiaan tässä järjestelmässä.

Ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan täydellisyyslauseen todisti ensimmäisenä Kurt Gödel vuonna 1930.

• Toisen kertaluvun predikaattilogiikka
• Yleistetyt kvanttorit
• Äärettömät kielet

Logiikkapohjainen ohjelmointi on ohjelmointiparadigma, jossa predikaattilogiikalla on keskeinen rooli. Logiikkaohjelmoinnin tärkein kieli on Prolog.

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
• Allwood, Jens & Andersson, Lars-Gunnar & Dahl, Östen (1988): Logiikka ja kieli. 2. painos. Suomentanut Paavo Siro. Helsinki: Yliopistopaino. (1. painos 1980 Gaudeamuksen kustantamana. Alkuteos: Logik för lingvister, 1972. Suomennettu englanninkielisestä laitoksesta Logic in Linguistics, 1979.) ISBN 951-570-020-5