Potenssifunktio

Erään potenssifunktion määritelmän mukaan se on tulo äärellisestä lukumäärästä (${\displaystyle m+n}$ kpl) vakioita ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{m}\!}$ ja muuttujaa ${\displaystyle x\!}$:

${\displaystyle a_{1}a_{2}...a_{m}xxx...x=axxx...x=ax^{n}\!}$

Tämän määritelmän mukaan potenssifunktio, jonka eksponenttina on luonnollinen luku, kuuluu alkeisfunktioihin, sillä se on muodostettu äärellisestä määrästä muuttujia ja vakioita niiden välisillä kertolaskuilla (alkeisoperaatio), ja se on samalla yleisen potenssifunktion erikoistapaus, joka merkitään usein

${\displaystyle f(x)=ax^{n}\qquad a\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N} \!}$

Tällainen potenssifunktio on samalla myös polynomifunktio, jossa on yksi termi. Useiden eriasteisten potenssien summa muodostaa monitermisen polynomifunktion. Eriasteisten potenssien sarjoja käytetään monissa potenssisarjoissa.

Potenssifunktioita käytetään matemaattisessa mallinnuksessa talouden, tieteen ja tekniikan aloilla. Niillä on polynomifunktioiden oheella merkittävä rooli matematiikan kouluopetuksessa eri maissa.

• Kun n = 0, saadaan ${\displaystyle f(x)=a}$, koska ${\displaystyle f(x)=ax^{0}=a}$. Tätä kutsutaan vakiofunktioksi ja se saa kaikilla x:n arvoilla saman arvon a. Vakiofunktion erikoistapaus on nollafunktio, jonka arvoksi tulee aina nolla (ei mitään).

• Kun n = 1, saadaan ${\displaystyle f(x)=ax}$, koska ${\displaystyle f(x)=ax^{1}=ax}$. Tämä on lineaarisen polynomifunktion ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ erikoistapaus, kun ${\displaystyle b=0}$. Silloin funktion arvo ${\displaystyle f(x)}$ ja muuttuja ${\displaystyle x}$ ovat suoraan verrannolliset eli ${\displaystyle f(x)\sim x}$. Jos funktion kerroin ${\displaystyle a=1}$, saadaan ${\displaystyle f(x)=xa=x}$. Funktio on tällöin identiteettifunktio, jolla funktion ${\displaystyle f(x)}$ arvo on sama kuin muuttujan ${\displaystyle x}$ arvo.

• Kun n = 2, saadaan ${\displaystyle f(x)=ax^{2}}$. Tämä on yksinkertaisin kvadraattinen funktio eli neliöllinen funktio eli toisen asteen polynomifunktio. Tunnettuja kvadraattisia funktioita ovat muun muassa geometriassa ${\displaystyle A(r)=\pi r^{2}}$ (ympyrän pinta-ala) ja ${\displaystyle A(r)=4\pi r^{2}}$ (pallon pinta-ala).

• Kun n = 3, saadaan ${\displaystyle f(x)=ax^{3}}$. Tämä on yksinkertaisin kuutiollinen funktio eli kolmannen asteen polynomifunktio.

Edelliset potenssifunktiot voidaan tulkita verrannollisuuden mukaan. Esimerkiksi, kun n = 2, voidaan sanoa, että funktion arvot ovat suoraan verrannolliset muuttujan toiseen potenssiin eli ${\displaystyle f(x)\sim x^{2}}$.

Potenssifunktioita, jolla pariton asteluku

Potenssifunktioita, jolla parillinen asteluku

Eksponenttina voi olla myös negatiivinen kokonaisluku. Koska potenssilaskennassa on määritetty

${\displaystyle x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}}$

saadaan myös potenssifunktiolle vastaavasti

${\displaystyle f(x)=ax^{-n}=a{\frac {1}{x^{n}}}={\frac {a}{x^{n}}}}$

Potenssifunktion määrittelyjoukossa on huomioitava nimittäjän rajoitus ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \smallsetminus {0}}$. Potenssifunktiolla, jonka asteluku on negatiivinen, on sen vuoksi määrittelyjoukko ${\displaystyle {x\in \mathbb {R} |x\neq 0}}$.

Kun n = 1, saadaan niin sanottu käänteislukufunktio (tässä: ${\displaystyle a=1}$)

${\displaystyle f(x)=ax^{-n}=ax^{-1}={\frac {1}{x^{1}}}={\frac {1}{x}}}$

Tällöin funktion arvot ovat muuttujan arvoon nähden kääntäen verrannolliset.

Pariton potenssifunktio, jolla negatiivinen asteluku.

Parillinen potenssifunktio, jolla negatiivinen asteluku.

Jos eksponenttina on rationaaliluku, saadaan

${\displaystyle f(x)=ax^{r}\qquad a\in \mathbb {R} ,r\in \mathbb {Q} \!}$

Jos eksponentti on luonnollisen luvun käänteisluku, joka on muotoa

${\displaystyle r={\frac {1}{n}}\qquad n\in \mathbb {N} }$

niin potenssifunktio tulkitaan juurifunktioksi:

${\displaystyle f(x)=ax^{r}=ax^{\frac {1}{n}}=a{\sqrt[{n}]{x}}}$

Juurifunktion määrittelyjoukko riippuu juuren asteluvusta. Jos juuren aste on parillinen, rajoitetaan muuttuja ei-negatiiviseksi eli ${\displaystyle x\geq 0}$. Jos aste on pariton, kuuluvat kaikki luvut määrittelyjoukkoon eli ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.

Juurifunktiot, joilla on pariton aste.

Juurifunktiot, joilla on parillinen aste.

Juurifunktion astelukua voidaan nostaa korottamalla se vielä kokonaislukupotensiin m:

${\displaystyle f(x)=a(x^{r})^{m}=a(x^{\frac {1}{n}})^{m}=ax^{\frac {m}{n}}=a{\sqrt[{n}]{x}}^{m}\qquad x\geq 0,n\neq 0,n,m\in \mathbb {N} ,a\in \mathbb {R} }$

Kaikki 5:nnen asteen juuret.

Kaikki 7:nnen asteen juuret, jotka on korotettu parittomaan potenssiin.

Kaikki 7:nnen asteen juuret, jotka on korotettu parilliseen potenssiin.

Kun eksponenttina on reaaliluku, määritellään yleisesti

${\displaystyle f(x)=ax^{r}\qquad a,r\in \mathbb {R} }$.

Kun eksponentina on rationaaluku, lasketaan potenssifunktion arvo edellä kuvatulla tavalla. Niitä reaalilukuja, jotka eivät ole rationaalilukuja, kutsutaan irrationaaliluvuiksi. Kun eksponenttina on irrationaalinen luku, lasketaan potenssifunktion arvo raja-arvon avulla. Koska jokaista irrationaalilukua ${\displaystyle r}$ kohden on olemassa rationaalilukujen jono ${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},\dots }$ siten, että jono suppenee kohti irrationaalilukua ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle r=\lim _{i\rightarrow \infty }q_{i}.}$

Potenssifunktion arvo kohdassa ${\displaystyle x=s\!}$, kun ${\displaystyle s\geq 0}$ lasketaan silloin

${\displaystyle f(s)=as^{r}=\lim _{i\rightarrow \infty }as^{q_{i}}.}$

Yleistäen voidaan sanoa, että

${\displaystyle f(x)=ax^{r}=\lim _{i\rightarrow \infty }ax^{q_{i}},x\geq 0.}$

Kun potenssifunktioille piirretään kuvaajat xy-koordinaatistoon, merkitään funktion argumentin x arvot x-koordinaateiksi ja funktion arvot y-koordinaateiksi eli ${\displaystyle (x,f(x))}$. Kahden potenssifunktion kuvaajat kulkevat saman pisteen kautta, kun niiden kuvaajilla on samalla x-koordinaatilla samat funktion arvot. Yhteiset pisteet voidaan määrittää yhtälöllä (s > r):

${\displaystyle ax^{s}=bx^{r}\Leftrightarrow ax^{s}-bx^{r}=0\Leftrightarrow x^{r}(ax^{s-r}-b)=0\Leftrightarrow x^{r}=0\ \lor \ ax^{s-r}-b=0\Leftrightarrow x=0\ \lor \ x=\pm {\sqrt[{s-r}]{\tfrac {a}{b}}}}$

Joka tapauksessa kohdassa ${\displaystyle x=0}$ on kaikilla potenssifunktioilla yhteinen piste ${\displaystyle (0,0)}$, sillä

${\displaystyle f(0)=a0^{r}=a0=0\!}$.

Yhteisiä pisteitä voi siis olla kaksi tai kolme riippuen potenssifunktioiden asteista. Jos eksponenttit ovat molemmat parillisia tai parittomia, saadaan kaksi kohtaa lisää, ja jos toinen on pariton ja toinen parillinen, saadaan vain yksi kohta lisää, missä on yhteinen piste:

${\displaystyle f(\pm {\sqrt[{s-r}]{\tfrac {a}{b}}})=a(\pm {\sqrt[{s-r}]{\tfrac {a}{b}}})^{r}=ac^{r}\!}$.

Potenssifunktion derivaatta erotusosamäärän raja-arvon avulla. Määritelmän tulokset potenssiosalle voidaan esittää helposti muistettavassa muodossa:

${\displaystyle Dx^{r}=nx^{r-1}\!}$

Potenssifunktion tavallinen (Rieman-) integraali on siten

${\displaystyle \int x^{r}dx={\frac {1}{r+1}}x^{r+1}+C\!}$, kun ${\displaystyle r\neq -1\!}$

tai

${\displaystyle \int x^{-1}dx=\int {\frac {1}{x}}dx=ln\,\mid x\mid +C\!}$, kun ${\displaystyle n=-1\!}$.