Positiivisesti definiitti matriisi

Positiivisesti definiitti matriisi on hermiittinen matriisi, jolla on monia samoja ominaisuuksia kuin positiivisilla reaaliluvuilla. [1] Termin kanssa samantapainen termi on positiivisesti definiitti symmetrinen bilineaarinen muoto (eli seskvilineaarinen muoto, kompleksimatriisien tapauksessa).

Yhtäpitäviä määritelmiä

Olkoon $M$ kokoa $n\times n$ oleva hermiittinen matriisi. Seuraavassa merkitään matriisin tai vektorin $A$ transpoosia $A^{T}$ :llä ja konjugaattista transpoosia $A^{*}$ :llä. Matriisin $M$ sanotaan olevan positiivisesti definiitti, jos sillä on yksikin (ja siten kaikki) seuraavista yhtäpitävistä ominaisuuksista:

1.	Kaikilla nollasta poikkeavilla vektoreilla $z\in \mathbb {C} ^{n}$ on voimassa ${\textbf {z}}^{}M{\textbf {z}}>0$ . Huomaa, että $z^{}Mz$ on aina reaalinen.
2.	Kaikki $M$ :n ominaisarvot ovat positiivisia. (Hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia.)
3.	Muoto $\langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}$ määrittää sisätulon $\mathbb {C} ^{n}$ :ssä. (Itse asiassa jokainen $\mathbb {C} ^{n}$ :n sisätulo muodostaa hermiittisen positiivisesti semidefiniitin matriisin.)
4.	Sylvesterin kriteerio: Kaikilla $0<m\leq n$ matriisin $M$ vasemmasta yläkulmasta alkaen muodostettujen $m\times m$ -matriisien determinantti on positiivinen.

Analogiset väitteet ovat voimassa, jos $M$ on reaalinen symmetrinen matriisi korvaamalla $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ :llä ja konjugaattinen transpoosi transpoosilla.

Lähteet

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 856 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[p1-1] Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 856 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.