Populaatiokoko

Jos populaatio kasvaa tasaisesti geometrisen sarjan mukaisesti,[1] niin sen kasvu noudattaa differentiaaliyhtälöä

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=rN,}$

missä ${\displaystyle r}$ on kasvukerroin eli syntyvyys–kuolevuuskerroin. Jos populaatiokoko on esimerkiksi ${\displaystyle 1000}$, ja syntyy 20 yksilöä ja kuolee 10 yksilöä, niin kasvukerroin on silloin ${\displaystyle {\frac {20-10}{1000}}.}$

Jos yllä mainittu differentiaaliyhtälö ratkaistaan, niin ratkaisuksi saadaan

${\displaystyle N_{t}=N_{0}e^{rt},}$

missä

• ${\displaystyle N_{t}}$ on populaatiokoko hetkellä ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle N_{0}}$ on populaation koko alkutilanteessa hetkellä ${\displaystyle t=0}$
• ${\displaystyle e}$ on Neperin luku
• ${\displaystyle r}$ on kasvukerroin
• ${\displaystyle t}$ on alkutilanteesta kulunut aika

Tällöin populaatio kasvaa eksponentiaalisesti, ja sen kuvaaja muistuttaa eksponenttifunktion kuvaajaa. Kasvukerroin voidaan määritellä kaavalla

${\displaystyle r={\frac {1}{T}}\operatorname {ln} R_{0},}$

missä ${\displaystyle R_{0}}$ on uusiutuvuuskerroin ja ${\displaystyle T}$ on sukupolven pituus.

Logistisessa kasvussa populaation kasvua rajoittaa ympäristön kantokyky ${\displaystyle K}$. Tällöin kasvua kuvaa differentiaaliyhtälö

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=rN{\frac {K-N}{K}},}$

mistä voidaan päätellä, että ${\displaystyle {\frac {N}{K}}}$ on ympäristön vastus. Kasvuvaiheen alussa ${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=rN.}$[2]

Jos populaation kasvussa on jokin viivästävä tekijä, niin syntyy helposti populaatiokoon värähtelyjä. Tällaista tilannetta kuvaava differentiaaliyhtälö on

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=rN{\frac {K-N_{t-a}}{K}},}$

missä ${\displaystyle a}$ on viivästys aikayksikköinä, esimerkiksi 1 vuorokausi tai 2 vuotta.

Jos on olemassa kilpailevat populaatiot ${\displaystyle N_{1}}$ ja ${\displaystyle N_{2}}$[3] niin näiden populaatioiden kasvua kuvaavat differentiaaliyhtälöt ovat

${\displaystyle {\begin{aligned}dN_{1}&=r_{1}N_{1}{\frac {K_{1}-N_{1}-\alpha N_{2}}{K_{1}}}\\dN_{2}&=r_{2}N_{2}{\frac {K_{2}-N_{2}-\alpha N_{1}}{K_{2}}},\end{aligned}}}$

missä ${\displaystyle N_{1}=\alpha N_{2}}$ ja ${\displaystyle N_{2}=\beta N_{1}.}$