Polkuyhtenäisyys

Polku ${\displaystyle {f:[0,1]\rightarrow X}\,\!}$ yhdistää ${\displaystyle X:n\,\!}$ pisteet ${\displaystyle f(0)=x\,\!}$ ja ${\displaystyle f(1)=y\,\!}$, joita sanotaan maaliavaruudessa polun ${\displaystyle f\,\!}$ päätepisteiksi. Topologinen avaruus ${\displaystyle X\,\!}$ on polkuyhtenäinen, jos sen jokainen pistepari ${\displaystyle x,y\in X\,\!}$ voidaan yhdistää polulla avaruudessa ${\displaystyle X\,\!}$.

Polkuyhtenäinen avaruus "Kampa" koostuu seuraavista osajoukoista: y-akselilta väli ${\displaystyle \left[0,1\right]\,\!}$, x-akselilta väli ${\displaystyle \left[0,1\right]\,\!}$ sekä x-akselin suuntaiset janat ${\displaystyle y={\frac {1}{n}}\,\!}$, kun n on luonnollinen luku ja ${\displaystyle x\in \left[0,1\right]\,\!}$

"Kampa" on polkuyhtenäinen avaruus

Suljettu väli ${\displaystyle {[-6,1]\subset R}\,\!}$ on polkuyhtenäinen ${\displaystyle R:n\,\!}$ osajoukko.

Yksiö ${\displaystyle {{\big \{}{4}{\big \}}\subset R}\,\!}$ ei ole polkuyhtenäinen. Se on yhtenäinen avaruuden ${\displaystyle R\,\!}$ osajoukko.

${\displaystyle (-\infty ,0)\cup (0,\infty )\subset X\,\!}$ ei ole polkuyhtenäinen, eikä yhtenäinen. Se on epäyhtenäinen avaruuden ${\displaystyle R\,\!}$ osajoukko.

Avaruus ${\displaystyle X=\left\{(x,\sin {\frac {1}{x}}):0<x\leqq 1\right\}\cup \left\{(0,0)\right\}\,\!}$ on yhtenäinen, mutta ei ole polkuyhtenäinen.

Muutetaan vähän äskeisen esimerkin avaruutta ${\displaystyle X\,\!}$:

Avaruus ${\displaystyle X=\left\{(x,x\sin {\frac {1}{x}}):0<x\leqq 1\right\}\cup \left\{(0,0)\right\}\,\!}$ on yhtenäinen ja erityisesti se on polkuyhtenäinen.

• Yhtenäisyys

• Martio, Olli: Vektorianalyysi. Helsinki: Limes ry, 2004.
• Väisälä, Jussi: Topologia I. Helsinki: Limes ry, 2004.
• Väisälä, Jussi: Topologia II. Helsinki: Limes ry, 2005.

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.
• Lipschutz, Seymour: General Topology. McGraw-Hill, 1965. ISBN 0-07-037988-2.