Viivaintegraali

Olkoon ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ skalaarikenttä ja ${\displaystyle \mathbf {r} (t):[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ käyrän C parametrisaatio. Tällöin ${\displaystyle f}$:n viivaintegraali käyrää C pitkin on

${\displaystyle \int _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|dt.}$

Kaava on pätevä melko lievin säännöllisyysoletuksin, esimerkiksi parametrisaation ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ jatkuva derivoituvuus välillä ${\displaystyle t\in (a,b)}$ riittää. Viivaintegraalin arvo on riippumaton parametrisaatiosta, eikä integroimissuunta vaikuta lopputulokseen. Käyrän kaarenpituus saadaan integroimalla funktiota ${\displaystyle f\equiv 1}$ käyrää pitkin, ja mikäli integraali suppenee, sanotaan käyrää suoristuvaksi. Mikäli fysikaalinen skalaarikenttä ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ kuvaa käyrän "viivatiheyttä" (massa/pituus), antaa viivaintegraali käyrää pitkin kokonaismassan.

Olkoon ${\displaystyle \mathbf {f}$ :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} vektorikenttä ja ${\displaystyle \mathbf {r} (t):[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ käyrän C parametrisaatio. Tällöin ${\displaystyle \mathbf {f} }$:n viivaintegraali käyrää C pitkin on

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {f} \cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {f} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)dt}$.

Viivaintegraalin arvo on jälleen parametrisaatiosta riippumaton, mutta integroimissuunnan vaihto muuttaa integraalin arvon vastaluvukseen. Vektorikentän viivaintegraalilla on huomattavan paljon sovelluksia fysiikassa: Esimerkiksi voimakentän ${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} (x,y,z)}$ tekemä työ W, kun kappale liikkuu käyrän C kuvaaman matkan, saadaan viivaintegraalista

${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$.

Maxwellin yhtälöiden integraalimuodoista sekä Faradayn induktiolaki että Ampere-Maxwellin laki sisältävät viivaintegraalin suljettua käyrää pitkin. Näiden lisäksi esimerkiksi Biot’n ja Savartin lain mukaan johtimen, jossa kulkee sähkövirta I, aiheuttama magneettivuon tiheys pisteessä P saadaan integraalista

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{C}d\mathbf {l} \times {\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {d\mathbf {l} }{dt}}\times {\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}dt}$,

missä käyrä C kuvaa virtajohdinta ja ${\displaystyle \mathbf {r} }$ on vektori johdinelementistä ${\displaystyle d\mathbf {l} }$ pisteeseen P.

Olkoon ${\displaystyle f:\mathbb {A} \rightarrow \mathbb {C} }$ jatkuva funktio, jonka määrittelyjoukko A on kompleksitason avoin osajoukko. Funktion polkuintegraali käyrää ${\displaystyle \gamma }$ pitkin määritellään

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)dt}$,

missä ${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\rightarrow \mathbb {C} } on polun jatkuvasti derivoituva parametrisaatio. Integraalin arvo ei riipu polun parametrisaatiosta suunnistusta lukuun ottamatta. Analyyttisen funktion polkuintegraali pisteestä toiseen on lisäksi polusta riippumaton, ja polkuintegraalin arvo voidaankin laskea funktion integraalifunktion avulla analyysin peruslauseen mukaisesti, aivan kuten reaalisessa tapauksessa. Lisäksi analyyttisen funktion polkuintegraali suljettua käyrää pitkin on nolla. Polkuintegraalien laskutekniikka kompleksianalyysissä huipentuu residy-laskentaan, jonka avulla hyvinkin monimutkaisten funktioiden polkuintegraaleja suljettuja käyriä pitkin voidaan laskea helpohkosti.

Funktion polkuintegraali kaarenpituuden suhteen määritellään

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)|dz|=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))|\gamma '(t)|dt}$.

• Mittaintegraali
• Riemannin integraali
• Maxwellin yhtälöt

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
• Väisälä, Kalle: Matematiikka IV. Espoo: Otakustantamo, 1965. ISBN 951-671-087-5.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).
• Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables. Shaum's Outline Series. McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964). ISBN 978-0-07-161569-9, ISBN 978-0-07-161570-9 (eBook).

• Viivaintegraali (Arkistoitu – Internet Archive) (pdf)