Poissonin jakauma

Poissonin jakauma (tai Poisson-jakauma) on toden­näköisyys­laskennassa ja tilastotieteessä diskreetin satunnais­muuttujan todennäköisyysjakauma, joka ilmaisee todennäköisyydet tapahtumien lukumäärälle kiinteällä aikavälillä, kun tapahtumien todennäköisyys on ajassa vakio ja riippumaton edellisestä tapahtumasta. Poissonin jakauman tuottavaa stokastista prosessia kutsutaan Poisson-prosessiksi.

Poissonin jakauma

Todennäköisyysfunktio Vaaka-akselilla on indeksi k eli tapahtumien lukumäärä. Todennäköisyysfunktio on määritelty vain indeksin k kokonaislukuarvoilla. Hahmottamisen helpottamiseksi pisteet on yhdistetty viivoilla
Kertymäfunktio Vaaka-akselilla on indeksi k eli tapahtumien lukumäärä. Kertymäfunktio on epäjatkuva kokonaisluvuilla k ja muualla vaakasuora, koska Poisson-jakautunut muuttuja saa vain kokonaislukuarvoja.
Merkintä	${\displaystyle \mathrm {Pois} (\lambda )\,}$
Parametrit	λ > 0 (reaalinen)
Määrittelyjoukko	k ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }
Pistetodennäköisyysfunktio	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot e^{-\lambda }}$
Kertymäfunktio	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor$ !}}\!} --tai-- ${\displaystyle e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\ }$ (kun ${\displaystyle k\geq 0}$ missä ${\displaystyle \Gamma (x,y)\,\!}$ on epätäydellinen gammafunktio ja ${\displaystyle \lfloor k\rfloor }$ on lattiafunktio)
Odotusarvo	${\displaystyle \lambda \,\!}$
Mediaani	${\displaystyle \approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor }$
Moodi	${\displaystyle \lfloor \lambda \rfloor ,\,\lceil \lambda \rceil -1}$
Varianssi	${\displaystyle \lambda \,\!}$
Vinous	${\displaystyle \lambda ^{-1/2}\,}$
Huipukkuus	${\displaystyle \lambda ^{-1}\,}$
Entropia	${\displaystyle \lambda [1\!-\!\log(\lambda )]\!+\!e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}}$ (kun ${\displaystyle \lambda }$ on suuri) ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log(2\pi e\lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-}$                     ${\displaystyle {\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)}$
Momentit generoiva funktio	${\displaystyle \exp(\lambda (e^{t}-1))\,}$
Karakteristinen funktio	${\displaystyle \exp(\lambda (e^{it}-1))\,}$
Todennäköisyydet generoiva funktio	${\displaystyle \exp(\lambda (z-1))\,}$

Jakauma on peräisin ranskalaiselta matemaattisen fysiikan tutkijalta Siméon Denis Poissonilta (1781-1840). Tutkiessaan todennäköisyyslaskennassa toistokoetta hän päätyi jakaumaansa antamalla toistojen määrän kasvaa rajatta ja kytkemällä tarkasteltavan tapauksen todennäköisyyden yksittäisessä toistossa toistojen määrään siten, että määrän ja todennäköisyyden tulo pysyivät koko ajan vakiona. Jakaumaa nimitetään usein myös Poissonin suurten lukujen laiksi.

Poissonin jakauma on diskreetti, ja sen arvojoukko on luonnollisten lukujen joukko. Jos satunnaismuuttuja ${\displaystyle X}$ on Poisson-jakautunut, merkitään

${\displaystyle X\sim \operatorname {Poisson} (\lambda )}$.

Parametri ${\displaystyle \lambda >0}$ on Poisson-prosessin intensiteetti. Pistetodennäköisyysfunktio on

${\displaystyle \operatorname {P} (X=i)={\frac {\lambda ^{i}}{i!}}e^{-\lambda }.}$

Kertymäfunktiota ei voi yleisessä tapauksessa esittää suljetussa muodossa. Odotusarvo ja varianssi ovat

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\lambda }$ ja ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\lambda .}$

Jos ${\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {Poisson} (\lambda _{1})}$ ja ${\displaystyle X_{2}\sim \operatorname {Poisson} (\lambda _{2})}$ sekä ${\displaystyle X_{1}}$ ja ${\displaystyle X_{2}}$ ovat riippumattomia, niin ${\displaystyle X_{1}+X_{2}\sim \operatorname {Poisson} (\lambda _{1}+\lambda _{2})}$.

Poissonin jakauman yhteydet binomijakaumaan ja negatiiviseen binomijakaumaan:

jos ${\displaystyle np_{n}\rightarrow \lambda }$ kun ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, niin ${\displaystyle \operatorname {Bin} (n,p_{n})\rightarrow \operatorname {Poisson} (\lambda )}$ jakaumaltaan.

jos ${\displaystyle n(1-p_{n})\rightarrow \lambda }$ kun ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, niin ${\displaystyle \operatorname {Negbin} (n,p_{n})\rightarrow \operatorname {Poisson} (\lambda )}$ jakaumaltaan.

Painotettu Poissonin jakauma on Poissonin jakauma, jonka parametri on satunnaismuuttuja. Parametrin voi tulkita esimerkiksi kuvaavan sään vaihteluita, jos Poisson-jakautunut satunnaismuuttuja kuvaa päivässä tapahtuvia liikennevahinkoja.

Oletetaan, että satunnaismuuttuja ${\displaystyle k}$ toteuttaa ehdot ${\displaystyle k>0}$ ja ${\displaystyle \operatorname {E} (k)=1}$ ja ${\displaystyle X\sim \operatorname {Poisson} (\lambda k)}$. Satunnaismuuttujaa ${\displaystyle k}$ kutsutaan tällöin struktuurimuuttujaksi. Odotusarvo ja varianssi ovat

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\lambda }$ ja ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\lambda +\lambda ^{2}\operatorname {Var} (k).}$