Poisson-prosessi

Poisson-prosessi on stokastinen prosessi, joka voidaan tulkita toisistaan riippumattomasti sattuvien tapahtumien laskuriksi jatkuvassa ajassa. Poisson-prosessilla on läheinen yhteys Poisson-jakaumaan ja sillä on kaksi olennaista ominaisuutta:

• tapahtumien riippumattomuus, mikä tarkoittaa, että kahdelle erilliselle aikavälille sattuvien tapahtumien lukumäärät ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, ja
• tapahtumien stationaarisuus, mikä tarkoittaa, että aikavälillä sattuvien tapahtumien lukumäärä riippuu vain välin pituudesta, ja on riippumaton välin sijainnista.

Nämä kaksi ominaisuutta kuuluvat vain Poisson-prosessille. Poisson-prosessilla on yksi parametri, joka on positiivinen reaaliluku. Parametria kutsutaan intensiteetiksi, joka tarkoittaa tapahtumien ilmaantumisen nopeutta.

Jos Poisson-prosessin intensiteetti on ${\displaystyle \lambda >0}$, niin aikavälillä ${\displaystyle (t_{1},t_{2}]}$ sattuvien tapahtumien lukumäärä on ${\displaystyle \operatorname {Poisson} (\lambda (t_{2}-t_{1}))}$-jakautunut. Erityisesti, jos satunnaismuuttuja ${\displaystyle N_{t}}$ on kaikkien ajanhetkeen ${\displaystyle t>0}$ mennessä sattuneiden tapahtumien lukumäärä, niin ${\displaystyle N_{t}}$ on ${\displaystyle \operatorname {Poisson} (\lambda t)}$-jakautunut. Tapahtumien välinen aika on ${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )}$-jakautunut. ${\displaystyle n}$:nnen tapahtuman sattumishetki on ${\displaystyle \operatorname {Gamma} (n,\lambda )}$-jakautunut.