Pii (vakio)

Pii

Koska pii on transsendenttiluku, sitä ei voi esittää päättyvänä lausekkeena peruslaskutoimituksia, potenssiinkorotusta ja juurenottoa käyttäen. Sitä on kuitenkin kauan arvioitu likimääräisesti. Vanhan testamentin Ensimmäisessä kuninkaiden kirjassa ${\displaystyle \pi }$ on 3: ”Hiram valoi myös pyöreän altaan, jota kutsuttiin mereksi. Se oli reunasta reunaan kymmenen kyynärän levyinen, korkeutta sillä oli viisi kyynärää, ja vasta kolmenkymmenen kyynärän pituinen mittanuora ulottui sen ympäri”.[3]

Ensimmäisiä säällisiä säilyneitä ${\displaystyle \pi }$:n likiarvoja on egyptiläisen matemaatikko Ahmosen käyttämä. Se on säilynyt laskutehtävissä, jotka sisältyvät niin sanottuun Rhindin papyrukseen. Sen mukaan ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin sellaisen neliön, jonka sivu on 8/9 ympyrän halkaisijasta. Tämä vastaa ${\displaystyle \pi }$:n likiarvoa 256/81 eli noin 3,16. Noin 2 000 vuotta ennen ajanlaskun alkua babylonialaiset otaksuivat, että ${\displaystyle \pi }$ on joko 3 tai ${\displaystyle {\frac {25}{8}}}$ (yksi desimaali oikein). Myös likiarvo ${\displaystyle {\frac {22}{7}}}$ (kaksi des. oikein) on tiedetty pitkään.

Kreikkalainen filosofi ja matemaatikko Arkhimedes todisti ympyrän sisään ja ympärille piirrettyjen monikulmioiden avulla, että ympyrän kehän ja halkaisijan suhde on lukujen ${\displaystyle 3{\frac {1}{7}}}$ ja ${\displaystyle 3{\frac {10}{71}}}$ välillä.[4] Ptolemaios käytti ${\displaystyle \pi }$:n arvoa ${\displaystyle {\frac {377}{120}}}$ (kolme des. oikein). Kiinalainen Tsi Ch'ung-Chi löysi 400-luvulla ${\displaystyle \pi }$:lle arvon ${\displaystyle {\frac {355}{113}}}$ (kuusi des. oikein), jota parempi murtolukuarvio on vasta ${\displaystyle {\frac {103993}{33102}}}$ (yhdeksän des. oikein).

Luku ${\displaystyle \pi }$ todistettiin irrationaaliluvuksi 1700-luvulla.

Piin voi esittää päättymättömänä sarjana. Eräs varhainen ja yksinkertainen tapa määritellä pii sarjana on Gottfried Leibnizin kehittämä Gregory–Leibniz-sarja:

${\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}\cdots \,}$

Tämä sarja suppenee kuitenkin liian hitaasti, jotta sitä kannattaisi käyttää piin likiarvojen laskemiseen. Siitä olisi laskettava vähintään 294 ensimmäistä termiä, jotta saataisiin edes kaksidesimaalinen likiarvo 3,14. Vuonna 1706 John Machin todisti kuitenkin seuraavan yhtälön:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}\!}$

Koska arkustangentin Taylorin sarjakehitelmä on

${\displaystyle \arctan \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \!}$

saatiin tästä piille nopeasti suppeneva ja käyttökelpoinen sarjakehitelmä:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {4}{5}}-{\frac {4}{3\cdot 5^{3}}}+{\frac {4}{5\cdot 5^{5}}}-{\frac {4}{7\cdot 5^{7}}}+....-{\frac {1}{239}}+{\frac {1}{3\cdot 239^{3}}}-{\frac {1}{5\cdot 239^{5}}}+{\frac {1}{7\cdot 239^{7}}}-...}$

Machin itse laski tällä kaavalla piin 100 desimaalin tarkkuudella, ja myöhemminkin tätä sarjaa on paljon käytetty yhä tarkempien likiarvojen laskemiseen.

Alkulukujen 7, 11, 13, … avulla on johdettu tulokaava[5]

${\displaystyle \pi =[945({7^{6} \over 7^{6}-1}\cdot {11^{6} \over 11^{6}-1}\cdot {13^{6} \over 13^{6}-1}\cdot ...)]^{1 \over 6}}$

Edellistä pienemmistä alkuluvuista 2, 3, 5, … lähtien pätee myös tulokaava[5]

${\displaystyle (1-{1 \over 2^{2}})(1-{1 \over 3^{2}})(1-{1 \over 5^{2}})...={6 \over \pi ^{2}}}$

Vuorottelevista sarjoista voidaan mainita tulos[5]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{(-1)^{k-1} \over k^{2}}={\pi ^{2} \over 12}}$,

josta saadaan

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12(1-{1 \over 4}+{1 \over 9}-{1 \over 16}+{1 \over 25}-...)}}}$

Muita äärettömiä sarjoja:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}={\frac {\pi }{2}}\!}$

${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{6^{5}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {((4k)!)^{2}(6k)!}{9^{k+1}(12k)!(2k)!}}\left({\frac {127169}{12k+1}}-{\frac {1070}{12k+5}}-{\frac {131}{12k+7}}+{\frac {2}{12k+11}}\right)=\pi \!}$

${\displaystyle {\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)=\pi \!}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}-1}{4^{n}}}\,\zeta (n+1)=\pi \!}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)}^{1}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\arctan {1}={\frac {\pi }{4}}\!}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)}^{2}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}\!}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)}^{3}={\frac {1}{1^{3}}}-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{3}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{3}}{32}}\!}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)}^{4}={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+{\frac {1}{7^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{96}}\!}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)}^{5}={\frac {1}{1^{5}}}-{\frac {1}{3^{5}}}+{\frac {1}{5^{5}}}-{\frac {1}{7^{5}}}+\cdots ={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}\!}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)}^{6}={\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+{\frac {1}{7^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{960}}\!}$

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\,\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)}$

${\displaystyle \pi =8\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(4m-2)^{2k}}}=4\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {m^{2}-k^{2}}{(m^{2}+k^{2})^{2}}}={\sqrt[{4\,\,}]{360\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{k}{\frac {1}{m(k+1)^{3}}}}}}$.

Muutama BBP-kaava:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}+{\tfrac {4}{8k+4}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+1}}+{\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}-{\tfrac {2}{8k+5}}-{\tfrac {2}{8k+6}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&=\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\tfrac {2}{4k+1}}+{\tfrac {2}{4k+2}}+{\tfrac {1}{4k+3}}\right).\end{aligned}}}$

Wallisin tulo:

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {36}{35}}\cdot {\frac {64}{63}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}\!}$

Viètan kaava:

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots ={\frac {2}{\pi }}\!}$.

Muita äärettömiä tuloja:

${\displaystyle \pi =2{\sqrt {3}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k-1\right)^{{\frac {1}{2}}-k}\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}{2k+1}}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{e}}=2\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+1}{2k-1}}\right)^{2k-1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}$

${\displaystyle \pi \cdot e=6\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+3}{2k+1}}\right)^{2k+1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}$

${\displaystyle \pi ={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}}}$

${\displaystyle \pi ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}}}}$

${\displaystyle \pi ={\frac {6}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {5}{6}}\right)^{2}}}}$

${\displaystyle \pi ={\frac {9}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {2}{9}}}}}$

${\displaystyle \pi ={\frac {36}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {5}{36}}}}.}$

Piin avulla laskiessa voidaan lausekkeissa se korvat erityisellä lausekkeella.

• kaksi oikeaa desimaalia:

${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=3{,}146^{+}}$

${\displaystyle {\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+1=3{,}140^{+}}$

• kolme oikeaa desimaalia:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}=3{,}1413^{+}}$

• kolme oikeaa desimaalia:

${\displaystyle {\sqrt {7+{\sqrt {6+{\sqrt {5}}}}}}=3{,}1416^{+}}$[6]

• Ramanujanin kehittämä approksimaatio, kolme oikeaa desimaalia:

${\displaystyle {\frac {9}{5}}+{\sqrt {\frac {9}{5}}}=3{,}1416^{+}}$

• neljä oikeaa desimaalia:

${\displaystyle {\frac {7^{7}}{4^{9}}}=3{,}14156^{+}}$

• kuusi oikeaa desimaalia:

${\displaystyle {\frac {355}{113}}=3{,}14159\ 29^{+}}$

• Ramanujanin kehittämä approksimaatio, kahdeksan oikeaa desimaalia:

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3{,}14159\ 2652^{+}}$

• yhdeksän oikeaa desimaalia:

${\displaystyle {\frac {63}{25}}\cdot {\frac {17+15{\sqrt {5}}}{7+15{\sqrt {5}}}}=3{,}14159\ 26538^{+}}$

• yhdeksän oikeaa desimaalia:

${\displaystyle {\sqrt[{193}]{\frac {10^{100}}{11222{,}11122}}}=3{,}14159\ 26536^{+}}$

• 17 oikeaa desimaalia:

${\displaystyle {\frac {80{\sqrt {15}}(5^{4}+53{\sqrt {89}})^{\frac {3}{2}}}{3308(5^{4}+53{\sqrt {89}})-3{\sqrt {89}}}}}$

• 29 oikeaa desimaalia:

${\displaystyle {\frac {\ln(640320^{3}+744)}{\sqrt {163}}}=3{,}14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^{+}}$

• 51 oikeaa desimaalia:

${\displaystyle {\frac {\ln(5280^{3}(236674+30303{\sqrt {61}})^{3}+744)}{\sqrt {427}}}}$

• 160 oikeaa desimaalia:

${\displaystyle {\frac {\ln {\big (}(2u)^{6}+24{\big )}}{\sqrt {3502}}}}$

missä

${\displaystyle u=(a+{\sqrt {a^{2}-1}})^{2}(b+{\sqrt {b^{2}-1}})^{2}(c+{\sqrt {c^{2}-1}})(d+{\sqrt {d^{2}-1}})}$

ja

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{2}}(23+4{\sqrt {34}})\\b&={\tfrac {1}{2}}(19{\sqrt {2}}+7{\sqrt {17}})\\c&=(429+304{\sqrt {2}})\\d&={\tfrac {1}{2}}(627+442{\sqrt {2}})\end{aligned}}}$.

Englantilainen amatöörimatemaatikko William Shanks (1812 – 1882) laski 20 vuoden ajan piin desimaaleja käsin ja ratkaisi luvun 707 desimaalin tarkkuudella. Vuonna 1945 kuitenkin huomattiin, että laskun 528. desimaali oli laskettu virheellisesti.[7]

Nykyään piin desimaaleja lasketaan tietokoneilla.

1900-luvulla pii tunnettiin jo yli miljardin desimaalin tarkkuudella, ja nykyään (elokuu 2021) siitä tiedetään ensimmäiset 62,8 biljoonaa desimaalia.[8][9] 1990-luvulla kehitettiin tapoja laskea piin heksadesimaaliesityksen numeroita, mistä tahansa kohdasta ilman, että aiempia numeroita tarvitsee tietää.

Kolikkoa kuvaava ympyrä neliöruudukolla.

Kun kolikko heitetään satunnaisesti neliöruudukolle, jossa kunkin neliön sivun pituus on sama kuin kolikon halkaisija (eli kaksi kertaa säde r), niin todennäköisyys, että kolikko peittää neliöiden risteyskohdan kuvassa esitetyllä tavalla, on π/4. Toistamalla koe lukuisia kertoja saadaan piille kokeellinen likiarvo.[10]

Vaikka piistä tiedetään paljon, on vielä useita avoimia kysymyksiä sen desimaaleihin liittyen:

• Onko desimaaleissa toistuvia kuvioita, vai onko ketju hahmoton?[7]
• Toistuvatko jotkin numerot tai luvut piissä useammin kuin toiset?[7]

• Luettelo piin laskukaavoista
• Feynmanin piste
• Tau (vakio)

• Pappas, Theoni: Lisää matematiikan iloja. (Alkuteos: More Joy of Mathematics. Exploring Mathematics All Around You). Suomentanut Juha Pietiläinen. Helsinki: Terra Cognita, 1991. ISBN 952-5202-46-1.

• Beckmann, Petr: π: Erään luvun tarina. (A history of π, 1971.) Suomentanut Hannele Salminen. Helsinki: Terra Cognita, 2000. ISBN 952-5202-28-3.

• Gutenberg-projektin teksti, jossa on ensimmäiset 10 miljoonaa desimaalia
• PiFastilla voi itse laskea piin ja muiden vakioiden arvoja erittäin tarkasti
• Pi-memory (Arkistoitu – Internet Archive)
• Pii-laskin, joka toimii selaimessa