Pariton luku

Parillisen luvun ${\displaystyle q_{k}}$ voi muodostaa lausekkeella ${\displaystyle q_{k}=2k}$, missä ${\displaystyle k}$ on luonnollinen luku. Jokaisen parillisen luvun edeltäjä ja seuraaja ovat parittomia lukuja. Parittoman luvun lauseke voi siten olla joko ${\displaystyle p_{k}=2k-1}$ tai ${\displaystyle p_{k}=2k+1}$. Jos tulkitaan ${\displaystyle k}$ järjestysluvuksi, voidaan ajatella ${\displaystyle p_{k}}$:n olevan ${\displaystyle k}$:nnes pariton luonnollinen luku. Esimerkiksi 93. pariton luku on ${\displaystyle p_{93}=2\cdot 93+1=187}$. Kun parittomien lukujen ${\displaystyle p_{k}}$ määritelmässä sallitaan myös ${\displaystyle k}$:ksi kokonaisluvut, saadaan parilliset kokonaisluvut. Tämän osajoukon mahtavuus on myös numeroituvasti ääretön. [2]

Parittomien luonnollisten lukujen joukko on mahtavuudeltaan numeroituvasti ääretön, koska se on yhtä mahtava joukko kuin luonnolliset luvut. Annettu joukkojen välinen kuvaus ${\displaystyle f(n)=2n+1}$ on bijektio, mikä riittää perusteluksi.

Kahden luvun laskutoimitukset vaikuttavat tuloksen parillisuuteen säännöllisillä tavoilla.

Kahden luvun summan ja erotuksen pariteetti voidaan päätellä siitä, saadaanko yhteiseksi tekijäksi luku 2:

• parillinen ± parillinen = parillinen, koska ${\displaystyle 2k\pm 2n=2(k\pm n)}$
• pariton ± parillinen = pariton, koska ${\displaystyle (2k+1)\pm 2n=2(k\pm n)+1}$ ja lukua kaksi ei saada yhteiseksi tekijäksi.
• parillinen ± pariton = pariton, koska ${\displaystyle (2k)\pm (2n+1)=2(k\pm n)\pm 1}$ ja lukua kaksi ei saada yhteiseksi tekijäksi.
• pariton + pariton = parillinen, koska ${\displaystyle (2k+1)+(2n+1)=2(k+n)+2=2(k+n+1)}$
• pariton - pariton = parillinen, koska ${\displaystyle (2k+1)-(2n+1)=2(k-n)-0=2(k-n)}$

Kahden luvun tulon pariteetti voidaan päätellä samalla tavalla:

• parillinen ${\displaystyle \cdot }$ parillinen = parillinen, koska ${\displaystyle 2k\cdot 2n=4kn=2(2kn)}$
• pariton ${\displaystyle \cdot }$ parillinen = parillinen, koska ${\displaystyle (2k+1)\cdot 2n=2n(2k+1)}$
• pariton ${\displaystyle \cdot }$ pariton = pariton, koska ${\displaystyle (2k+1)\cdot (2n+1)=4kn+2(k+n)+1}$ ja lukua kaksi ei saada yhteiseksi tekijäksi.

Kun jakolasku ei mene tasan, jolloin osamäärä on puhdas rationaaliluku, ei voida enää puhua parillisuudesta. Jos jakolasku menee tasan, jakaa nimittäjä ${\displaystyle n}$ osoittajan ${\displaystyle m}$ ja on siten eräs sen tekijä eli ${\displaystyle m=pn}$. Silloin

${\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {pn}{n}}=p}$

ja osamäärän parittomuus riippuu ainoastaan osoittajan tekijästä ${\displaystyle p}$ eikä ollenkaan nimittäjästä ${\displaystyle n}$.

Kun lasketaan parittomia lukuja yhteen 1 + 3 + 5 + 7 + ..., saadaan tulokseksi neliölukuja. [4]

Jerusalemin lähellä noin 100 jaa. eläneen uuspythagoralaisen Nikomakhos Gerasalainen julkaisi kirjan Introductio arithmeticae, jossa hän esitti parittomilla luvuilla summajonon 1; 3 + 5; 7 + 9 + 11; 13 + 15 + 17 + 19; ... eli 1, 8, 27, 64,... Viimeiset luvut ovat ensimmäiset kuutioluvut. Edellinen lukujono on samalla parittomien lukujen summa, jonka arvo on neliöluku. [5]

Seuraavat parittomien lukujen käänteislukujen sarjat suppenevat.

${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+...={\frac {\pi }{4}}}$

${\displaystyle 1+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+...={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$

${\displaystyle 1+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+{\frac {1}{7^{4}}}+...={\frac {\pi ^{4}}{96}}}$

${\displaystyle 1+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+{\frac {1}{7^{6}}}+...={\frac {\pi ^{6}}{960}}}$

${\displaystyle 1-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{3}}}+...={\frac {\pi ^{3}}{32}}}$

${\displaystyle 1+{\frac {1}{3^{3}}}-{\frac {1}{5^{3}}}+{\frac {1}{7^{3}}}-...={\frac {3\pi ^{3}{\sqrt {2}}}{128}}}$ [6]

Muun muassa Abraham Seidenberg on esittänyt, laskeminen on voinut saada alkuunsa tarkkaan harkituista heimorituaaleista, missä suuren ihmisjoukon hallinta olisi vaatinut osanottajien laajempaa roolitusta. Melko pitkälle kehittyneiden seremonioiden hallinta on vaatinut osanottajien numerointia. Alkeellisesti elävien heimojen keskuudesta on havaittu laajalle levinnyt tapa, jossa osanottajat jaotellaan miehiin ja naisiin numeroimalla heidät parillisilla ja parittomilla luvuilla pareiksi. Samat heimot käyttävät 2-kantaista lukujärjestelmääkin muiden lukujärjestelmien rinnalla ja riitit saattavat olla tähän yhtenä syynä. Pythagoralaiset kuvasivat parillisia lukuja naisellisina ja parittomia miehisinä lukuina. [7][8].

Euklideen Elementan kirjassa XI, että ”luku on parillinen, jos se voidaan puolittaa”. Tämä alkeellinen määritelmä viittaa vanhaan tapaan hahmottaa luvut pikkukivillä, joita voitiin järjestellä kuvioiksi. Lukumäärää vastaava kivikasa voidaan siten puolittaa eli järjestää kahteen yhtä suureen kasaan. [4] Antiikin kreikkalaiset eivät pitäneet lukua yksi parillisena tai parittomana lukuna. Lukuja yksi ja kaksi eivät olleet alkulukuja, sillä niitä pidettiin parillisten ja parittomien lukujen synnyttäjinä. Parittomia lukuja pidettiin ensisijaisina, koska pariton + pariton antoi parillisen luvun, mutta parillinen + parillinen antoi parillisen luvun. [9]

• Fuchs, Walter R.: Matematiikka. Suomentanut Mattila, Pekka. Länsi-Saksa: Kirjayhtymä, 1968.
• Barrow John D.: Lukujen taivas. Suomentanut Vilikko, Risto. Smedjebacken, Ruotsi: Art House, 1999. ISBN 951-884-231-0.
• Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osat I–II. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-150-0, ISBN 951-884-158-6.
• Spiegel, Murray R.: Mathematical Handbook of Formulas and Tables. New York: McGraw-Hill Book Company, 1968. (englanniksi)