Pareto-jakauma
Pareto-jakauma on todennäköisyysjakauma, joka on nimetty italialaisen yhteiskuntatieteilijä Vilfredo Pareton mukaan. Muilla tieteenaloilla sitä kutsutaan toisinaan Bradford-jakaumaksi.
Tiheysfunktio Pareto-jakauman tiheysfunktio piirrettynä useilla eri parametrin α (merkitty "k") arvoilla, kun xm = 1. Kun α → ∞, niin jakauma lähestyy funktiota δ(x − xm), missä δ on Diracin deltafunktio. | |
Kertymäfunktio Pareto-jakauman kertymäfunktio piirrettynä useilla eri parametrin α(merkitty "k") arvoilla, kun xm = 1. | |
Parametrit | skaala (reaalinen) muoto (reaalinen) |
---|---|
Määrittelyjoukko | |
Tiheysfunktio | |
Kertymäfunktio | |
Odotusarvo | |
Mediaani | |
Moodi | |
Varianssi | |
Vinous | |
Huipukkuus | |
Entropia | |
Momentit generoiva funktio | |
Karakteristinen funktio | |
Fisherin informaatiomatriisi |
Alun perin Pareto käytti jakaumaa kuvaamaan varallisuuden jakautumista ihmisten kesken. Jakauma näytti kuvaavan varsin hyvin, kuinka pieni joukko ihmisiä omistaa aina suhteellisesti isomman osuuden varallisuudesta yhteiskunnissa. Ideaa kutsutaan joskus yksinkertaisemmin Pareton periaatteeksi.
Esimerkkejä sovelluksista
- Sanojen osuus pitkissä teksteissä
- Ihmisasutusten koko (vähän kaupunkeja, paljon kyliä)
- Tiedostojen jakauma internet-liikenteessä, joka käyttää TCP-protokollaa (paljon pieniä ja vähän suuria tiedostoja)
Ominaisuudet
Jos X on Pareto-jakautunut satunnaismuuttuja, niin todennäköisyys, että X on suurempi kuin jokin luku x on
kaikilla x ≥ xm, missä xm on (aina positiivinen) pienin mahdollinen X:n arvo ja k on positiivinen parametri. Pareto-jakaumilla on kaksi parametria: xm ja k. Kun jakaumaa käytetään varallisuuden jakauman mallinnukseen, k:ta kutsutaan Pareto-indeksiksi.
Näin ollen tiheysfunktio on
kaikilla x ≥ xm. Pareto-jakaumaa noudattavan satunnaismuuttujan odotusarvo on
(jos , odotusarvo on ääretön). Sen varianssi on
(jos , varianssi on ääretön).
Aiheesta muualla
Diskreettejä jakaumia | |
---|---|
Jatkuvia jakaumia | |
Moniulotteisia jakaumia |
|