Pallogeometria

Tasogeometrian peruskäsitteet ovat piste ja suora. Pallo­geometriassa vastaavat peruskäsitteet ovat piste ja isoympyrä. Kaksi pallo­pinnan isoympyrää leikkaa toisensa kahdessa pisteessä, jotka ovat toistensa antipodeja, ja tässä suhteessa pallo­geometria poikkeaa (yksin­kertaisesta) elliptisestä geometriata.

Kun pallopinta käsitetään kolmi­ulotteisen avaruuden osajoukoksi, isoympyrät ovat pallopinnan ja sen keskipisteen kautta kulkevien tasojen leikkauksia. Intrinsisesti tarkasteltuna isoympyrä on geodeettinen viiva, lyhin tie kahden pisteen välillä edellyttäen, että ne ovat tarpeeksi lähellä toisiinsa. Intrinsisessä aksiomaattisessa lähestymis­tavassa, joka on analoginen Eukleideen tasogeometriassa käytetylle, isoympyrä on pisteen tavoin peruskäsite, jota ei määritellä, mutta sen ja pisteen tärkeimmät ominaisuudet ja yhteydet ilmaistaan aksioomella, joista niiden muut ominaisuudet seuraavat.

Isoymyröillä on pallo­geometriassa monessa suhteessa vastaava looginen merkitys kuin suorilla euklidisessa geometriassa, esimerkiksi pallokolmioiden sivuina. Tämä ei ole pelkkä analogia: pallo- ja tasogeometriaa ja useita muitakin voidaan käsitellä erikois­tapauksina samasta yleisemmästä, etäisyyksien mittaamiseen perustuvista geometrisista struktuureista, joissa "suorat" määritellään lyhimpinä polkuina (geodeettisina viivoina). Monet pisteitä ja "suoria" koskevat lauseet pätevät yhtä lailla kaikissa tällaisissa geometrioissa, edellyttäen että ne on määritelty tähän tapaan, ja teoria voidaan suoraan yleistää korkeampiin ulottuvuuksiin. Koska pallo­geometria kuitenkin on sekä sovellustensa vuoksi että ja pedagogisista syistä sidoksissa avaruus­geometriaan ja koska näissä yleistyksissä eivät kaikki pallopintaa koskevat tulokset päde, pallogeometriassa ei yleensä käytetä termiä "suora" mistään pinnalla itsellään olevasta viivasta. Historialli­sesti­kin se on kehittynyt osana avaruus­geometriaa, ja siinä käytetään apuna myös ympäröivän kolmiulotteisen (euklidisen) avaruuden pisteitä, suoria ja tasoja.

Pallogeometriassa käsiteltävät kulmat ovat isoympyröiden välisiä kulmia. Kun pallopintaa tarkastellaan kolmiulotteisessa avaruudessa sijaitsevana, tämä kulma on yhtä suuri kuin niiden tasojen välisenä kulma, joiden leikkauksia pallopinnan kanssa nämä isoympyrät ovat.[1] Isoympyröiden ja kulmien muodostamia pallokolmioita käsittelee pallotrigonometria, joka eroaa tavallisesta trigonometriasta monin tavoin: esimerkiksi pallokolmion kulmien summa on aina suurempi kuin 180 astetta.

Pallogeometria on läheistä sukua elliptiselle geometrialle.

Eräs huomattava pallogeometriaa muistuttava geometria on projektiivisen tason geometria. Se saadaan samastamalla keskenään toistensa antipodissa olevat pisteet, toisin sanoen ne pallopinnan pisteet, jotka ovat yhtä kaukana pallon keskipisteestä sen vastakkaisilla puolilla. Lokaalisesti projektiivisella tasolla on kaikki pallopinnan ominaisuudet, mutta sen globaalit ominaisuudet ovat erilaiset. Erityisesti projektiivinen taso on orientoitumaton, yksipuolinen, ja toisin kuin pallopintaa, sellaista ei voi muodostaa kolmi­ulotteisessa avaruudessa ilman, että se leikkaa itsensä.

Pallogemetrian käsitteitä voidaan soveltaa myös pyörähdysellipsoidiin, joskin eräitä kaavoja on hieman muutettava.

Pallogeometria voidaan elliptisen geometrian tavoin yleistää myös useampaan ulottuvuuteen.

Pallogeometrialla on seuraavat ominaisuudet:[8]

• Mitkä tahansa kaksi isoympyrää leikkaavat toisensa kahdessa vastakkaisessa pisteessä, joita sanotaan toistensa antipodipisteiksi eli antipodaalisiksi pisteiksi.
• Kahden pisteen kautta, jotka eivät ole toistensa antipodipisteitä, kulkee aina yksi ja vain yksi isoympyrä.
• On olemassa luonnollinen pituusyksikkö (joka perustuu kierrokseen), luonnollinen kulmayksikkö (joka perustuu isoympyrän kehään) ja luonnollinen pinta-alan yksikkö (joka perustuu pallon pinta-alaan).
• Jokaiseen isoympyrään liittyy kaksi toistensa antipodissa olevaa pistettä, joita sanotaan isoympyrän navoiksi ja jotka ovat kaikkien sen kohtisuorasti leikkaavien isoympyröiden yhteiset leikkauspisteet. Tämä osoittaa, että isoympyrä toteuttaa myös pallon pinnalla ympyrän määritelmän: se on niiden pisteiden ura, jotka ovat annetulla etäisyydellä tietystä keskipisteestä, isoympyrän navasta.
• Jokaista pallonpinnan pistettä vastaa yksi yksikäsitteisesti määritelty isoympyrä, jota sanotaan pisteen polaariseksi isoympyräksi, nimittäin se isoympyrä, joka saadaan pallopinnan ja sen tason leikkauksena, joka kulkee pallon keskipisteen kautta ja on kohtisuorassa annetusta pisteestä pallon läpi sen antipodipisteeseen johtavaan janaan nähden.

Pisteet, jotka eivät ole toistensa antipodeja, voidaan yhdistää toisiinsa kahdella isoympyrän kaarella, jotka yhdessä muodostavat isoympyrän. Näin ollen kolme pistettä, jotka eivät ole samalla isoympyrällä, eivät yksikäsitteisesti määrittele kolmiota. Jos kuitenkin tarkastellaan vain kolmioita, joiden sivut ovat isoympyröiden pienempiä kaaria, toisin sanoen kaaria, joiden pituus on vähemmän kuin puolet isoympyrän kehästä, niillä voidaan todeta olevan seuraavat ominaisuudet:

• Kolmion kulmien summa on suurempi kuin 180° ja pienempi kuin 540°.
• Kolmion pinta-ala on suoraan verrannollinen siihen erotukseen, minkä verran sen kulmien summa on suurempi kuin 180°.
• Kaksi kolmiota, joiden kulmien summa on sama, ovat pinta-alaltaan yhtä suuri.
• Kaikkien kolmioiden pinta-ala on pienempi kuin eräs yläraja.
• Kahden isoympyrän suhteen suoritettujen peilausten yhdistetty kuvaus voidaan käsittää myös kierroksi niiden jommankumman leikkauspisteen ympäri.
• Kaksi kolmiota on yhteneviä, jos ja vain jos ne toinen niistä voidaan kuvata toiselle äärellisellä määrällä tällaisia peilauksia.
• Kaksi kolmiota, joilla on yhtä suuret kulmat, ovat yhteneviä, toisin sanoen yhdenmuotoiset kolmiot ovat aina yhteneviä.

Mikäli sanaa "suora" käytetään tarkoittamaan pallon isoympyrää ja sanaa "jana" isoympyrän kaaresta, pallogeometria toteuttaa kaksi Eukleideen viidestä postulaatista, nimittäin toisen ("jana voidaan jatkaa jatkuvasti kokonaiseksi suoraksi") ja neljännen ("kaikki suorat kulmat ovat yhtä suuria"). Sen sijaan kolme muuta postulaattia eivät päde. Vastoin ensimmäistä postulaattia kahden pisteen välillä ei aina ole yksikäsitteistä lyhintä reittiä (antipodipisteet kuten pohjois- ja etelänapa ovat vastaesimerkkejä). Vastoin kolmatta postulaattia ei pallopinnalle voida ympyrää, jonka säde on tiettyä rajaa suurempi. Ja vastoin viidettä eli paralleeliaksioomaa ei "suoran" ulkopuolella olevan pisteen kautta kulje yhtään sellaista "suoraa", joka ei leikkaisi edellistä jossakin pisteessä.[9]

Paralleeliaksiooma on yhtäpitävä muun muassa sen lauseen kanssa, että on olemassa kolmio, jonka kulmien summa on 180°. Koska pallogeometriassa paralleeliaksiooma ei ole voimassa, ei pallopinnalla ole tämän ehdon toteuttavaa kolmiota. Sen sijaan pallokolmion kulmien summa on 180°(1 + 4f), missä f on kolmion sisään jäävän alueen pinta-alan suhde koko pallon pinta-alaan. Kaikilla f:n positiivisilla arvoilla tämä on suurempi kuin 180°.

Pallogeometrialle on paljon käytännön sovelluksia, sillä esimerkiksi Maapallolla liikutaan pallopinnalla, ja juuri merenkulun tarpeet ovatkin hyötyneet pallogeometrian tutkimuksesta.

• Pallotähtitiede
• Pallotrigonometria
• Elliptinen geometria

• Athanase Papadopoulos: ”Euler, la géométrie sphérique et le calcul des variations”, Leonhard Euler : Mathématicien, physicien et théoricien de la musique. Pariisi: CNRS Editions, 2015. 978-2-271-08331-9.
• Glen van Brummelen: Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry. Princeton University Press, 2013. ISBN 978-069-1-14892-2. Teoksen verkkoversio.
• Roshdi Rashed, Athanase Papadopoulos: Menelaus' Spherics: Early Translation and al-Mahani'/alHarawi's version. Critical edition of Menelaus' Spherics from the Arabic manuscripts, with historical and mathematical commentaries''. Kirjasarja: Scientia Graeco-Arabica 21. De Gruyter, 2017. ISBN 978-3-11-057142-4.

• Sphaerica - geometry software for constructing on the sphere sourceforge.net.