Osittaisfunktio
Osittaisfunktio on funktion yleistys, joka liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon enintään yhden maalijoukon alkion, jota merkitään , jos tämä :n liitettävä alkio on olemassa. Kyseessä on siis tavallisen funktion yleistys, sillä tavallinen funktio liittää jokaiseen joukon alkioon tarkalleen yhden joukon alkion , mutta funktion osittaisuus sallii sen, että joillakin :n alkioilla tällaista siihen -liitettävää -joukon alkiota ei ole. ("liitettäviä on nyt yhden sijaan nolla kappaletta.") Tällaisilla alkioilla sanotaan, että ei ole määritelty, ja toisinaan tämä ilmoitetaan merkinnällä
Niitä joukon alkioita, joilla on määritelty, kutsutaan yhdessä funktion määrittelyjoukoksi, jota voidaan merkitä esimerkiksi symbolilla . Tavallisilla funktioilla eli määrittelyjoukko ja lähtöjoukko yhtyvät, mutta yleensä eli määrittelyjoukko on pienempi ja sallittua on myös sekin, että eli ei ole määritelty missään joukon pisteessä.
Esimerkkejä
1)
Funktio , joka on määritelty niin, että ja eli arvoilla ja funktio ei ole määritelty.
2)
Funktio , missä , on määritelty tarkalleen silloin, kun on neliö eli kuuluu joukkoon , sillä tarkalleen tällöin neliöjuuri kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon, joka on nyt otettu maalijoukoksi.
3)
Laskennan teoriassa funktioita lasketaan Turingin koneella niin, että syötteellä kone suoritettuaan äärellisen määrän laskenta-askelia kirjoittaa tulosteen, joka määritellään käytetyn Turingin koneen määräämän funktion -arvoksi. Kuitenkin useilla Turingin koneilla käy niin, että joillakin syötteillä alkanut laskenta ei pysähdy koskaan, tuloste jää näin saamatta ja jää siis määrittelemättömäksi kyseisellä koneella näillä syötteillä.
