Osittaisdifferentiaaliyhtälö

Osittaisderivaattamerkintöjä lyhennetään usein seuraavasti:

${\displaystyle u_{x}={\partial u \over \partial x}}$.

Aikaderivaatta lyhennetään joskus pistemerkinnän avulla, mutta tavallisemmin alaindeksillä t:

${\displaystyle {\dot {u}}=u_{t}={\partial u \over \partial t}}$.

Jos yhtälössä esiintyy ainoastaan ensimmäisiä derivaattoja, sanotaan yhtälön olevan ensimmäisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö. Monissa käytännön sovelluksissa tarvitaan kuitenkin toisia derivaattoja

${\displaystyle u_{xx}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

ja vastaavasti

${\displaystyle u_{xy}={\partial ^{2}u \over \partial y\,\partial x}={\partial \over \partial y}\left({\partial u \over \partial x}\right)}$.

Usein käytetään myös niin kutsuttua nabla-operaattoria, mikä karteesisissa koordinaateissa kirjoitetaan seuraavasti:

${\displaystyle \nabla =(\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z})}$ missä ${\displaystyle \partial _{x}={\partial \over \partial x}}$.

Yleisesti yhtälön kertaluku määräytyy korkeimman derivaatan kertaluvusta, aivan kuten tavallistenkin differentiaaliyhtälöiden tapauksessa.

Jos yhtälö on ensimmäistä astetta riippuvan muuttujan ja sen derivaattojen suhteen ODY on lineaarinen. Jos lineaarisuus rajoittuu korkeimman kertaluvun derivaattoihin, yhtälö on kvasilineaarinen. Jos yhtälö on kvasilineaarinen muuten, mutta korkeimman kertaluvun derivaattojen kertoimet riippuvat ainoastaan riippumattomista muuttujista yhtälön sanotaan olevan melkein lineaarinen.

Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkeavuus on vielä tavallisia differentiaaliyhtälöitäkin heikompi, eikä analyyttistä ratkaisua suljetussa muodossa ole olemassa joitakin poikkeuksia lukuun ottamatta. Koska ratkaisussa saattaa olla useita muuttujia, tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta poiketen osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisuun voi jäädä vakioiden sijasta kokonaisia tuntemattomia funktioita. Esimerkiksi erittäin yksinkertaisen yhtälön

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}=0}$

ratkaisuksi kelpaa mikä tahansa funktio

${\displaystyle u(x,y)=f(y)\,}$.

Siksi yksilöllisen ratkaisun löytämiseksi on tunnettava etsittävän funktion käyttäytymistä laajemmin. Tyypillinen osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu on reuna-arvotehtävä, sillä voidaan osoittaa, että pisteen ${\displaystyle (x,y)}$ kautta tason alueessa kulkee tarkalleen yksi ratkaisukäyrä, joka toteuttaa ehdon ${\displaystyle u=u(x,C)}$ (C on vakio) silloin, jos alueessa on voimassa Lipschitzin ehto

${\displaystyle |f(x,y_{1})-f(x,y_{2})|\leq L|y_{1}-y_{2}|}$.

Yleisin ratkeavuutta koskeva tulos on Cauchyn–Kovalevskajan lause, jonka mukaan yhtälöä koskevan Cauchyn tehtävän analyyttinen ratkaisu on yksikäsitteisenä olemassa, jos ODY on analyyttinen ratkaisun ja sen kaikkien derivaattojen suhteen. On kuitenkin löydettävissä jo melko yksinkertaisiakin osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, joilla tämä ehto ei toteudu. Myös siinä tapauksessa, että ratkaisu on olemassa ja se on yksikäsitteinen, sillä saattaa olla ominaisuuksia, jotka tekevät siitä epäkäytännöllisen.

Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen tapahtuu käytännössä lähes aina tietokonemallien avulla.

• Mallintaminen
• Differentiaalilaskenta
• Derivaatta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

• Partial differential equations mathworld.wolfram.com:n osittaisdifferentiaaliyhtälösivut (englanniksi)