Osittaisderivaatta

Kuvaaja pinnasta z = x² + xy + y². Osittaisderivaattaa pisteessä (1, 1, 3) voidaan tarkastella x-akselin suuntaisella, kohdan y = 1 kautta kulkevalla ja pinnasta esiin leikatulla xz-tason suuntaisella tasolla (merkitty pystyviivoin).

Siinä tasossa olevien pisteiden koordinaatit ovat muotoa (x, 1, z) ja pinnasta leikatun käyrän tangentti pisteessä (1, 1, 3) on piirretty punaisella. Punaisen tangentin kulmakerroin kyseisellä tasolla on 3.

Yksinkertaisuuden vuoksi merkitään usean muuttujan funktiota ${\displaystyle f(x,y,z,...)}$, jolloin muuttujan x suhteen otettua osittaisderivaatta merkitään esimerkiksi

${\displaystyle D_{x}f,\,f'_{x},f_{x},{\frac {\partial }{\partial x}}f{\text{ tai }}{\frac {\partial f}{\partial x}}.}$ [2]

Osittaisderivoinnin symboli on ${\displaystyle \partial }$ ja se esiintyy ensimmäisen kerran vuonna 1770 Nicolas de Condorcet'n kirjoituksissa, missä hän käytti osittaisderivaattaa. Nykymuodossaan olevia osittaisderivaatan merkintöjä käytti ensimmäisenä Adrien-Marie Legendre vuonna 1786. Hän hylkäsi ne myöhemmin, mutta Carl Gustav Jacob Jacobi otti sen uudelleen käyttöönsä vuonna 1841.[3]

Funktion ${\displaystyle f:\,\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ kuvaajaa (x,y,z)- koordinaatistossa (kuva vieressä) esittää yhtälö

${\displaystyle z=f(x,y)=\,\!x^{2}+xy+y^{2}.\,}$

Kuvaaja esittää kaksiulotteista pintaa kolmiulotteisessa tilassa ja pinnan jokaiseen pisteeseen voidaan asettaa tangenttisuoria äärettömän moneen suuntaan. Tangentit osoittavat pinnan jyrkkyyden eri suunnissa. Kun määritetään pinnan jyrkkyys x-akselin suunnassa, käytetään siihen tangenttia, joka on yhdensuuntainen xz-tason kanssa. Pinnan jyrkkyys x-akselin suunnassa saadaan selville osittaisderivaatalla muuttujan x suhteen

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}={\frac {\partial (x^{2}+xy+y^{2})}{\partial x}}={\frac {\partial x^{2}}{\partial x}}+{\frac {\partial xy}{\partial x}}+{\frac {\partial y^{2}}{\partial x}}=2x+y+0=2x+y.}$

Jyrkkyys riippuu luonnollisesti vielä paikasta (x,y). Valitaan xy-tason pisteeksi (1,1) ja lasketaan osittaisderivaatta siinä kohdassa

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}(1,1)=2\cdot 1+1=3}$

Tangentti sivuaa pintaa ${\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}$ pisteessä, jossa z-koordinaatti on

${\displaystyle z=f(1,1)=1^{2}+1\cdot 1+1^{2}=3}$

eli koordinaattipisteessä (1,1,3). Näin on saatu viereisten kuvaajien mukainen tulos.

Geometriassa ympyräpohjaisen kartion tilavuus V riippuu sen korkeudesta h ja pohjan säteestä r seuraavasti:

${\displaystyle V=V(r,h)={\frac {r^{2}h\pi }{3}}={\pi \over 3}r^{2}h.}$

Se voidaan tulkita kahden muuttujan funktioksi ${\displaystyle V(h,r)}$, jonka osittaisderivaattafunktio muuttujan r suhteen on

${\displaystyle V'_{r}(r,h)={\frac {\partial V(r,h)}{\partial r}}={\frac {\partial ({\pi \over 3}r^{2}h)}{\partial r}}={\pi \over 3}2rh={\frac {2rh\pi }{3}}}$.

Tämä kuvaa kartion tilavuuden muutosta pohjan säteen muuttuessa ja korkeuden pysyessä vakiona.

Osittaisderivaattafunktio, kun derivoidaan muuttujan h:n suhteen on

${\displaystyle V'_{h}(r,h)={\frac {\partial V(r,h)}{\partial h}}={\frac {\partial ({\pi \over 3}r^{2}h)}{\partial h}}={\pi \over 3}r^{2}\cdot 1={\frac {r^{2}\pi }{3}}}$

joka puolestaan kuvaa kartion tilavuuden muutosta korkeuden muuttuessa ja pohjan säteen pysyessä vakiona.

Toisen kertaluvun osittaisderivaatta voidaan määritellä luonnollisella tavalla derivoimalla useamman muuttujan funktio kahdesti joko saman muuttujan suhteen tai kahden eri muuttujan suhteen. Seuraavassa on muutama esimerkki derivoinnin järjestämiseksi ja osittaisderivaattojen merkitsemisistä. Jos usean muuttujan funktiota merkitään ${\displaystyle f(x,y,\dots )}$ (eli ${\displaystyle f:\,\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$), niin siitä voidaan muodostaa seuraavanlaiset toisen kertaluvun osittaisderivaatat muuttujien x ja y suhteen:[2]

${\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial x^{2}}f(x,y,\dots )={\partial \over \partial x}{\partial \over \partial x}f(x,y,\dots )=f_{xx}(x,y,\dots )=f_{11}(x,y,\dots )}$

${\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial y^{2}}f(x,y,\dots )={\partial \over \partial y}{\partial \over \partial y}f(x,y,\dots )=f_{yy}(x,y,\dots )=f_{22}(x,y,\dots )}$

${\displaystyle {\partial ^{2} \over {\partial y\partial x}}f(x,y,\dots )={\partial \over \partial y}{\partial \over \partial x}f(x,y,\dots )=f_{xy}(x,y,\dots )=f_{12}(x,y,\dots )}$

${\displaystyle {\partial ^{2} \over {\partial x\partial y}}f(x,y,\dots )={\partial \over \partial x}{\partial \over \partial y}f(x,y,\dots )=f_{yx}(x,y,\dots )=f_{21}(x,y,\dots )}$

Merkinnät ${\displaystyle f_{xy}(x,y,\dots )=f_{12}(x,y,\dots )}$ tarkoittavat, että ensin funktio derivoidaan muuttujan x suhteen ja derivoitu funktio derivoidaan sitten muuttujan y suhteen. Useimmiten osittaisderivaatat ${\displaystyle f_{xy}=f_{yx}}$ ovat identtiset, mutta esimerkiksi epäjatkuvuudet voivat rikkoa symmetrisyyden.[2]

Kun derivoidaan useasti ja eri muuttujien suhteen, syntyy erilaisia osittaisderivaattoja. Esimerkiksi

${\displaystyle {\partial \over \partial y}{\partial \over \partial x}{\partial \over \partial y}{\partial \over \partial y}{\partial \over \partial z}f(x,y,z)={\partial ^{5} \over {\partial y\partial x\partial y^{2}\partial z}}f(x,y,z)=f_{zyyxy}}$

on viidennen kertaluvun osittaisderivaatta. Jos derivointijärjestyksellä ei ole tällä kertaa merkitystä, voidaan esitys yksinkertaistaa

${\displaystyle f_{zyyxy}=f_{xyyyz}={\partial ^{5} \over {\partial x\partial y^{3}\partial z}}f(x,y,z).}$