Ortokolmio

Jos teräväkulmaisen referenssikolmion ${\displaystyle \scriptstyle \triangle ABC}$ sivujen pituudet ovat ${\displaystyle a,\ b\ ja\ c}$ ja sivujen vastaiset kulmat ${\displaystyle \alpha ,\ \beta \ ja\ \gamma }$, ovat sen ortokolmion sivujen pituudet ${\displaystyle a^{*},\ b^{*}\ ja\ c^{*}}$

${\displaystyle a^{*}=a|\cos \alpha |,}$

${\displaystyle b^{*}=b|\cos \beta |}$ ja

${\displaystyle c^{*}=c|\cos \gamma |.}$ [3]

Ortokolmion pinta-ala on

${\displaystyle A_{O}={\frac {abc|\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma |}{2R}},}$ [3]

missä R on alkuperäisen kolmion ${\displaystyle \scriptstyle \triangle ABC}$ ympäröivän ympyrän säde.

Referenssikolmion korkeusjanat, tai niiden jatkeet, ovat konkurrentit eli ne leikkaavat samassa pisteessä, jota kutsutaan ortokeskukseksi O. Korkeusjanat lähtevät myös ortokolmion kärjistä puolittaen näiden kulmat. Referenssikolmion ortokeskus on siten ortokolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste.[3][4][5]

Teräväkulmaisen kolmion korkeusjanat ovat ortokolmion kulmien kulmanpuolittajat.[6] Ortokolmion sisään voidaan piirtää ympyrä siten, että ympyrä sivuaa kaikkia sen sivuja. Tämän ympyrän keskipiste sijaitsee alkuperäisen kolmion ortokeskuksessa O.[1] Ympyrän keskipiste kuuluu Eulerin suoralle.[7] Sisään piirretyn ympyrän säde ${\displaystyle r_{H}}$ on

${\displaystyle r_{H}=2R|\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma |,}$ [3]

missä R on alkuperäisen kolmion ympäröivän ympyrän säde. Ortokolmion ympäri piirretyn ympyrän säde ${\displaystyle R_{H}}$ on

${\displaystyle R_{H}={\tfrac {1}{2}}R.}$ [3]

• Väisälä, Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 14.4.2013).
• Kurittu Lassi: Geometria (pdf) (luentomoniste) 2006. Jyväskylän: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 14.4.2013.
• Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 14.4.2013.

• University College Cork: Orthic Triangle (Arkistoitu – Internet Archive) (matematiikan olympialaisten valmennusmateriaalia)