Normi (matematiikka)

Olkoon ${\displaystyle X}$ lineaariavaruus kerroinkuntana ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Tällöin kuvaus ${\displaystyle p:X\rightarrow \mathbb {R} }$ on normi (joukossa X), jos se toteuttaa seuraavat ehdot

1. ${\displaystyle p(x)\geq 0}$ kaikilla ${\displaystyle x\in X}$,
2. ${\displaystyle p(x)=0}$ jos ja vain jos ${\displaystyle x={\bar {0}}}$ (=nollavektori),
3. Kuvaus p on skaalautuva: ${\displaystyle p(kx)=|k|p(x)}$ kaikilla ${\displaystyle x\in X}$ ja ${\displaystyle k\in \mathbb {K} }$,
4. Kuvaus p toteuttaa ns. kolmioepäyhtälön: ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ kaikilla ${\displaystyle x,y\in X}$.

Normia p merkitään usein kirjallisuudessa symbolilla ${\displaystyle ||\cdot ||}$ ja sen arvoa ${\displaystyle p(x)=||x||}$. Jos lineaariavaruuteen X on määrätty normi p, niin paria (X,p) kutsutaan normiavaruudeksi.

Seminormi on kuvaus, joka toteuttaa normin kaikki muut ehdot paitsi ehdon 2.

Jokainen normiavaruus on luonnollisella tavalla metrinen avaruus. Nimittäin jos ${\displaystyle (X,||\cdot ||)}$ on normiavaruus, niin kuvaus ${\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} }$, ${\displaystyle d(x,y)=||x-y||}$ on metriikka. Kutsumme tämmöisen ns. normimetriikan virittämää topologiaa tavalliseksi topologiaksi.

Metrisenä avaruutena normiavaruuteen voidaan myös määritellä ns. yksikköympyrä. Normiavaruuden ${\displaystyle (X,||\cdot ||)}$ x-keskinen, r-säteinen yksikköympyrä on joukko ${\displaystyle \{y\in X:||x-y||=r\}}$. Vaihtamalla siis normia avaruudessa X saamme aina mahdollisesti erilaisia yksikköympyröitä. Oheisissa kuvissa on joukon ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ erilaisten normien määräämiä yksikköympyröitä.

• Euklidinen normi joukossa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$: ${\displaystyle {||x||}_{2}={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}}}$
• ${\displaystyle L^{p}}$- ja ${\displaystyle \ell ^{p}}$-normit:

- Jonoavaruuden ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ osajoukon ${\displaystyle \ell ^{p}}$-äärellisten jonojen joukon ns. ${\displaystyle \ell ^{p}}$-normi ${\displaystyle {||\cdot ||}_{p}}$ saadaan kaavasta

${\displaystyle {||x||}_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{\infty }{|x_{i}|}^{p}}}}$

- Funktioavaruuden ${\displaystyle L^{p}}$ ns. ${\displaystyle L^{p}}$-normi ${\displaystyle {||\cdot ||}_{p}}$ saadaan kaavasta

${\displaystyle {||f||}_{p}={\sqrt[{p}]{\int |f|^{p}}}}$

• Maksiminormit rajoitettujen jonojen avaruudessa ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ja oleellisesti rajoitettujen funktioiden avaruudessa ${\displaystyle L^{\infty }}$: ${\displaystyle {||x||}_{\infty }=\max\{x_{i}:i\in \mathbb {N} \}}$ ja

${\displaystyle {||f||}_{\infty }={\mbox{ess sup}}|f|}$

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.