Nollamittaisuus

Joukko ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ on nollamittainen, jos jokaiselle ${\displaystyle \varepsilon >0}$ on olemassa perhe ${\displaystyle (I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ kompakteja välejä ${\displaystyle I_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$ siten, että

${\displaystyle A\subset \bigcup _{k\in \mathbb {N} }I_{k}}$ ja ${\displaystyle \sum _{k\in N}\lambda _{n}(I_{k})<\varepsilon .}$

Tällöin merkitään ${\displaystyle A\subset {\mathcal {N}}={\mathcal {N}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Määritelmässä on olennaista peittävien välien numeroituva määrä. Määritelmä asetetaan usein siten, että peittävinä väleinä käytetään avoimia välejä. Rajoitettu väli on nollamittainen, jos ja vain jos se on surkastunut.

Nollamittaisilla joukoilla on seuraavat ominaisuudet:

• Nollamittaisen joukon osajoukko on nollamittainen.
• Nollamittaisten joukkojen numeroituva yhdiste on nollamittainen. Niiden ylinumeroituva yhdiste ei sen sijaan välttämättä ole nollamittainen.
• Jos joukko ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m}}$ on nollamittainen ja ${\displaystyle B\in \mathbb {R} ^{n}}$ on rajoitettu, niin tulojoukko ${\displaystyle A\times B\in \mathbb {R} ^{m+n}}$ on nollamittainen.
• Jos kompaktin välin ${\displaystyle I\in \mathbb {R} ^{n}}$ funktio ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }$ on integroituva, niin sen graafi ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{f}=\{(x,f(x))\in \mathbb {R} ^{n+1}:x\in I\}\subset \mathbb {R} ^{n+1}}$ on nollamittainen.
• Nollamittainen joukko on Lebesgue-mitallinen.

• MathWorld. Measure Zero