Noetherin teoreema

Noetherin teoreema on perusidealtaan edellä kuvatun mitättömän pienten koordinaattien poisjättämisen yleistys.

Oletetaan, että edellä määritelty aktio I on invariantti aikamuuttujan pienissä häiriöissä (käyristymisissä ja yleistetyt koordinaatit q fysiikassa yleisesti käytetyillä merkintätavoilla,

${\displaystyle t\rightarrow t^{\prime }=t+\delta t}$

${\displaystyle \mathbf {q} \rightarrow \mathbf {q} ^{\prime }=\mathbf {q} +\delta \mathbf {q} ~,}$

missä häiriöt dt and dq ovat molemmat pieniä mutta muuttuvia. Yleisemmin oletetaan, että aktiolla on vaikkapa N sellaista symmetria­muunnosta, toisin sanoen muunnosta, jotka jättävät aktion ennalleen, ja käytetään niille indeksiä r = 1, 2, 3, …, N.

Tällöin häiriöiden yhteis­vaikutus voidaan kirjoittaa kaikkien eri­tyyppisten häiriöiden lineaarisena summana,

${\displaystyle \delta t=\sum _{r}\epsilon _{r}T_{r}\!}$

${\displaystyle \delta \mathbf {q} =\sum _{r}\epsilon _{r}\mathbf {Q} _{r}~,}$

missä e_r ovat infinitesimaalisia parametrisia kertoimia, joista

• generaattori T_r vastaa ajallista kehitystä
• generaattori Q_r yleistettyjä koordinaatteja.

Yhden­suuntais­siirtojen tapauksessa Q_r on pituuden yksiköissä ilmaistava vakio, rotaatioiden tapauksessa lineaarinen, q:n komponenttien avulla ilmaistava lauseke, ja parametrit muodostavat kulman.

Näiden määritelmien avulla Noether osoitti, että nämä N suuretta

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T_{r}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}}$

säilyvät eli ovat liikevakioita. Niiden dimensiot ovat [energia]·[aika] + [liikemäärä]·[pituus] = [aktio]].

Aikainvarianssi

Esimerkkinä käsitellään Lagrangen funktiota, joka ei riipu ajasta, toisin sanoen se on invariantti (symmetrinen) muunnoksissa t → t + dt, kun koordinaatit q eivät muutu. Tässä tapauksessa N = 1, T = 1 and Q = 0; vastaava säilyvä suure on kokonaisenergia H[5]

${\displaystyle H={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L.}$

Siirtoinvarianssi

Tarkastellaan Lagrangen funktiota, joka ei riipu (edellä mainitulla tavalla merkityksettömästä) koordinaatista q_k; toisin sanoen se in invariantti (symmetrinen) muunnoksissa q_k → q_k + dq_k. Tässä tapauksessa N = 1, T = 0, and Q_k = 1; säilyvä suure on vastaava liikemäärä p_k[6]

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}.}$

Erityisessä ja yleisessä suhteellisuus­teoriassa nämä näennäisesti erilliset säilymis­lait ovat saman lain, jännitys-energia-tensorin säilymis­lain, eri ilmenemis­muotoja, [7] Tämä laki johdetaan jäljempänä.

Rotaatioinvarianssi

Liikemäärämonentin L = r × p säilymislaki on analoginen liike­määrän säilymis­laille.[8] Oletetaan, että systeemin Lagrangen funktio on symmetrinen rotaatioiden suhteen, toisin sanoen se ei riipu fysikaalisen systeemin absoluuttisesta suuntautumisesta avaruudessa. Oletetaan, että Lagrangen funktio ei muutu akselin pienissä n kulman δθ suuruisissa rotaatioissa. Tällaisissa rotaatioissa karteesiset koordinaatit muuntuvat yhtälön

${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\delta \theta \mathbf {n} \times \mathbf {r} .}$

mukaisesti. Koska aika ei tässä muutu, on T=0. Pidetään kulmaa δθ parametrina ε ja karteesisia koordinaatteja r yleistettyinä koordinaatteina q; tällöin vastaavat muuttujat Q saadaan lausekkeella

${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {n} \times \mathbf {r} .}$

Tällöin Noetherin teoreeman mukaan seuraava suure säilyy:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}=\mathbf {p} \cdot \left(\mathbf {n} \times \mathbf {r} \right)=\mathbf {n} \cdot \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)=\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} .}$

Toisin sanoen liikemäärämomentin L akselin n suuntainen komponentti säilyy.

Jos n on mieli­valtainen, eli systeemiin eivät vaikuta mitkään rotaatiot, L:n kaikki komponentit säilyvät, eli lyhyesti sanottuna liikemäärämomentti säilyy.

Vaikka edellä esitetty versio teoreemasta on sellaise­naan­kin käyttö­kelpoinen, se on vain erikois­tapaus Noetherin vuonna 1915 johtamasta yleisemmästä versiosta. Seuraavassa esitetään Noetherin teoreeman versio, joka koskee jatkuvia kenttiä neli­ulotteisessa aika-avaruudessa. Koska modernissa fysiikassa kenttä­teoreettiset probleemat ovat yleisempiä kuin mekaaniset, tämä kenttä­teoreettinen versio on Noetherin teoreeman yleisemmin käytetty versio.

Oletetaan joukko differentioituvia kenttiä φ, jotka on määritelty kaikkialla avaruudessa ja ajassa. Esimerkiksi lämpötilaa T(x, t) voidaan pitää sellaisena kenttänä, sillä se on luku, jolla on tietty arvo jokaisessa paikassa jokaisena aikana. Vähimmän vaikutuksen periaatetta voidaan soveltaa sellaisiin kenttiin, mutta aktio on nyt integraali avaruuden ja ajan yli:

${\displaystyle I=\int L\left({\boldsymbol {\phi }},\partial _{\mu }{\boldsymbol {\phi }},x^{\mu }\right)\,d^{4}x}$

(teoreema voidaan itse asiassa yleistää sellaisiin­kin tapauksiin, joissa Lagrangen funktio riippuu n:nnestä derivaatasta.)

Oletetaan, että aktio on riippumaton tietynlaisista avaruus-aika-koordinaattien x^µ muunnoksista ja kentistä φ

${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow x^{\mu }+\delta x^{\mu }\!}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\rightarrow {\boldsymbol {\phi }}+\delta {\boldsymbol {\phi }}}$

missä muunnokset voidaan indeksoida: r = 1, 2, 3, …, N

${\displaystyle \delta x^{\mu }=\epsilon _{r}X_{r}^{\mu }\,}$

${\displaystyle \delta {\boldsymbol {\phi }}=\epsilon _{r}{\boldsymbol {\Psi }}_{r}~.}$

Tällaisilla systeemeillä on Noetherin teorian mukaan N säilyvää virran­tiheys­suuretta

${\displaystyle j_{r}^{\nu }=-\left({\frac {\partial L}{\partial {\boldsymbol {\phi }}_{,\nu }}}\right)\cdot {\boldsymbol {\Psi }}_{r}+\sum _{\sigma }\left[\left({\frac {\partial L}{\partial {\boldsymbol {\phi }}_{,\nu }}}\right)\cdot {\boldsymbol {\phi }}_{,\sigma }-L\delta _{\sigma }^{\nu }\right]X_{r}^{\sigma }}$

Näissä tapauksissa säilymis­lait voidaan ilmaista neli­ulotteisessa muodossa

${\displaystyle \sum _{\nu }{\frac {\partial j^{\nu }}{\partial x^{\nu }}}=0}$

joka ilmaisee, että säilyvän suureen määrä pallo­pinnan sisä­puolella ei voi muuttua, ellei sitä virtaa vastaava määrä pallo­pinnan sisä­puolelta ulos tai päin­vastoin. Esimerkiksi sähkövaraus säilyy; varaus­määrä pallo­pinnan sisä­puolella ei voi muuttua, ellei varausta virtaa sieltä ulos tai sinne sisään.

Asian havainnol­lista­miseksi oletetaan kenttien muodostama fysikaalinen systeemi, joka edellä mainitussa mielessä käyttäytyy samoin siirrettäessä sitä ajassa ja paikassa, toisin sanoen ${\displaystyle L\left({\boldsymbol {\phi }},\partial _{\mu }{\boldsymbol {\phi }},x^{\mu }\right)}$ on vakio kolmannen argumenttinsa suhteen. Siinä tapauksessa N = 4, virran­tiheys­suureita on yksi kutakin paikka­koordinaattia ja aikaa kohti. Koska vain sijainnit ajassa ja paikassa voivat vääristyä, eivät kentät, muuttujat Ψ ovat kaikki nollia ja X_µ^ν on yhtä kuin Kroneckerin delta δ_µ^ν, missä µ:tä on käytetty r:n sijasta indeksinä. Siinä tapauksessa Noetherin teoreema vastaa jännitys-energia-tensorin T_µ^ν[7] säilymislakia:

${\displaystyle T_{\mu }{}^{\nu }=\sum _{\sigma }\left[\left({\frac {\partial L}{\partial {\boldsymbol {\phi }}_{,\nu }}}\right)\cdot {\boldsymbol {\phi }}_{,\sigma }-L\,\delta _{\sigma }^{\nu }\right]\delta _{\mu }^{\sigma }=\left({\frac {\partial L}{\partial {\boldsymbol {\phi }}_{,\nu }}}\right)\cdot {\boldsymbol {\phi }}_{,\mu }-L\,\delta _{\mu }^{\nu }}$

Sähkö­varauksen säilyminen sitä vastoin voidaan johtaa olettamalla, että X_µ^ν=0 ja Ψ on lineaarinen kentissä f itsessään.[9] Kvantti­mekaniikassa todennäköisyysamplitudi Ψ(x) sille, että hiukkanen löydetään pisteestä x, on kompleksinen kenttä φ, koska se liittää avaruuden ja ajan jokaiseen pisteeseen kompleksi­luvun. Toden­näköisyys­amplitudia sinänsä ei voida fysikaalisesti mitata, ainoastaan toden­näköisyys p = |Ψ|² voidaan todeta mittaus­sarjan perusteella, Sen vuoksi systeemi on invariantti sellaisten kentän Ψ ja sen kompleksikonjugaattikentän Ψ^* muunnosten suhteen, joissa lausekkeen |Ψ|² arvo ei muutu, kuten kompleksisessa rotaatiossa

${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\theta }\psi \ ,\ \psi ^{*}\rightarrow e^{-i\theta }\psi ^{*}~,}$.

Raja­tapauksessa, kun vaihe θ tulee infini­tesi­maalisen pieneksi, δθ, sitä voidaan pitää parametrina ε, kun taas Ψ on sama kuin vastaavasti iψ and -iψ*. Erityisenä esi­merkkinä voidaan mainita Kleinin-Gordonin yhtälö, suhteellisuus­teorian mukaisesti korjattu versio Schrödingerin yhtälöstä spinittömille hiukkasille, missä Lagrangen funktion tiheys on

${\displaystyle L=\psi _{,\nu }\psi _{,\mu }^{*}\eta ^{\nu \mu }+m^{2}\psi \psi ^{*}.}$

Tässä tapauksessa Noetherin teoreemasta seuraa, että säilyvä virta (∂·j = 0) on yhtä kuin

${\displaystyle j^{\nu }=i\left({\frac {\partial \psi }{\partial x^{\mu }}}\psi ^{*}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x^{\mu }}}\psi \right)\eta ^{\nu \mu }~,}$.

Kun tämä kerrotaan kyseisen hiukkaslajin varauksena, saadaan tämän hiukkas­tyypin aikaansaama sähköinen virrantiheys. Tähän "riippumattomuuteen mitta­kentästä" kiinnitti ensimmäisenä huomiota Hermann Weyl, ja se on yksi fysiikan mitta­kenttä­symmetrioiden proto­tyypeistä.

Tarkastellaan yksinkertaista tapausta, systeemiä, jossa on vain yksi riippumaton muuttuja, aika. Oleteteaan, että riippuvat muuttujat q ovat sellaisia, että aktio integraalina

${\displaystyle I=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} [t],{\dot {\mathbf {q} }}[t],t]\,dt}$

on invariantti lyhyissä infinitesimaalisissa riippuvien muuttujien vaihteluissa. Toisin sanoen ne toteuttavat Eulerin-Lagrangen liikeyhtälöt

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}[t]={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}[t].}$

Oletetaan lisäksi, että integraali on invariantti jossakin jatkuvassa symmetriassa. Matemaattisesti sellaista symmetriaa kuvaa jokin virtaus φ, joka vaikuttaa muuttujiin seuraavasti:

${\displaystyle t\rightarrow t'=t+\epsilon T\!}$

${\displaystyle \mathbf {q} [t]\rightarrow \mathbf {q} '[t']=\phi [\mathbf {q} [t],\epsilon ]=\phi [\mathbf {q} [t'-\epsilon T],\epsilon ]}$

missä ε on reaalinen muuttuja, joka ilmaisee virtauksen määrän, ja T reaalinen vakio, joka voi olla myös nolla ja joka ilmaisee, minkä verran virtaus vaikuttaa aikaan.

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}[t]\rightarrow {\dot {\mathbf {q} }}'[t']={\frac {d}{dt}}\phi [\mathbf {q} [t],\epsilon ]={\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\epsilon T],\epsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\epsilon T].}$

Aktiointegraali muuntuu muotoon

${\displaystyle {\begin{aligned}I'[\epsilon ]&=\int _{t_{1}+\epsilon T}^{t_{2}+\epsilon T}L[\mathbf {q} '[t'],{\dot {\mathbf {q} }}'[t'],t']\,dt'\\[6pt]&=\int _{t_{1}+\epsilon T}^{t_{2}+\epsilon T}L[\phi [\mathbf {q} [t'-\epsilon T],\epsilon ],{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\epsilon T],\epsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\epsilon T],t']\,dt'\end{aligned}}}$,

mitä voidaan pitää ε:n funktiona. Laskemalla derivaatta, kun ε = 0 ja käyttämällä symmetriaa saadaan

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {dI'}{d\epsilon }}[0]=L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\left(-{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial \phi }{\partial \epsilon }}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(-{\frac {\partial ^{2}\phi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}^{2}T+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \epsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}T\right)\,dt.\end{aligned}}}$

On huomattava, että Eulerin-Lagrangen yhtälöistä seuraa

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T\right)&=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T\\[6pt]&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {\partial ^{2}\phi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T.\end{aligned}}}$

Sijoittamalla tämä edellisiin yhtälöihin saadaan

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {dI'}{d\epsilon }}[0]=L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \phi }{\partial \epsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \epsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\,dt.\end{aligned}}}$

Käyttämällä jälleen Eulerin-Lagrangen yhtälöitä saadaan

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \epsilon }}\right)=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \phi }{\partial \epsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \epsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \phi }{\partial \epsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \epsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}.}$

Sijoittamalla tämä edellisiin yhtälöihin saadaan

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \epsilon }}[t_{2}]-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \epsilon }}[t_{1}].\end{aligned}}}$

Tästä voidaan nähdä, että

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \epsilon }}}$

on liikevakio, siis säilyvä suure. Koska φ [q, 0] = q, saadaan ${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}=1}$, ja näin ollen säilyvä suure yksinkertaistuu muotoon

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \epsilon }}.}$

Jotteivät kaavat tulisi liian monimutkaisiksi, tässä johdossa on oletettu, ettei virta muutu ajan kuluessa. Samaan tulokseen päästään kuitenkin myös yleisemmässä tapauksessa.

Noetherin teoreema voidaan johtaa myös tensorikentille φ^A missä indeksin A eri arvot tarkoittavat eri tensorikenttien eri komponentteja. Nämä kenttäsuureet ovat neliulotteisessa avaruudessa määriteltyjä funktioita, ja avaruuden pisteitä merkitään koordinaateilla x^µ, missä indeksin µ arvo µ=0 merkitsee aikaa ja arvot µ=1,2,3 kolmea tilaulottuvuutta. Nämä neljä koordinaattia ovat riippumattomat muuttujat ja kenttien arvot kussakin aika-avaruuden pisteessä ovat niistä riippuvia muuttujia. Infinitesimaalisissa muunnoksissa koordinaattien muunnokset voidaan kirjoittaa muodossa

${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow \xi ^{\mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }\!}$

kun taas kenttäsuureiden muunnokset ilmaistaan muodossa

${\displaystyle {\phi }^{A}\rightarrow \alpha ^{A}(\xi ^{\mu })=\phi ^{A}(x^{\mu })+\delta \phi ^{A}(x^{\mu })\,.}$

Tämän määritelmän mukaan δφ^A riippuu kahdesta tekijästä: kentille itsessään ominaisista sisäisistä muutoksista ja koordinaattien muutoksista, sillä muunnettu kenttä α^A riippuu muunnetuista koordinaateista ξ^µ. Sisäisten muutosten eristämiseksi kentän vaihtelu yksittäisessä pisteessä x^µ voidaan määritellä seuraavasti:

${\displaystyle \alpha ^{A}(x^{\mu })=\phi ^{A}(x^{\mu })+{\bar {\delta }}\phi ^{A}(x^{\mu })\,.}$

Jos koordinaatteja muutetaan, muuttuu samalla myös sen aika-avaruuden alueen raja, jonka yli Lagrangen funktio integroidaan; alkuperäistä ja muunnettua versiota merkitään Ω ja Ω’.

Noetherin teoreema alkaa oletuksesta, että tietty koordinaattien ja kenttämuuttujien muunnos ei muuta aktiota, joka määritellään Lagrangen funktion tiheyden integraalina tietyn aika-avaruuden alueen yli. Matemaattisesti tämä oletus voidaan kirjoittaa seuraavasti:

${\displaystyle \int _{\Omega ^{\prime }}L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },\xi ^{\mu }\right)d^{4}\xi -\int _{\Omega }L\left(\phi ^{A},{\phi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)d^{4}x=0}$

missä muuttujien jälkeen yläpuolelle kirjoitetut pilkut tarkoittavat osittaisderivaattoja niiden koordinaattien suhteen, jotka seuraavat pilkun jälkeen, toisin sanoen

${\displaystyle {\phi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial \phi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}\,.}$

Koska ξ on pelkkä integroimisvakio ja koska rajan Ω muutos oletettiin infinitesimaaliseksi, nämä kaksi integraalia voidaan yhdistää divergenssilauseen neliulotteisen version mukaisesti seuraavaan muotoon:

${\displaystyle \int _{\Omega }\left\{\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\phi ^{A},{\phi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left[L\left(\phi ^{A},{\phi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right]\right\}d^{4}x=0\,.}$

Lagrangen funktioiden erotus voidaan kirjoittaa ensimmäisessä kertaluvuissa infinitesimaalisilla muutoksilla:

${\displaystyle \left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\phi ^{A},{\phi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]={\frac {\partial L}{\partial \phi ^{A}}}{\bar {\delta }}\phi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\phi ^{A}}_{,\sigma }\,.}$

Koska nämä muutokset kuitenkin on määritelty samassa edellä selityssä pisteessä, muutokset ja derivoinnit voidaan suorittaa myös päinvastaisessa järjestyksessä; ne kommutoivat:

${\displaystyle {\bar {\delta }}{\phi ^{A}}_{,\sigma }={\bar {\delta }}{\frac {\partial \phi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\bar {\delta }}\phi ^{A}\right)\,.}$

Käyttämällä Eulerin-Lagrangen kenttäyhtälöä

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \phi ^{A}}}}$

Lagrangen funktioiden erotus voidaan kirjoittaa yksinkertaisesti muotoon

${\displaystyle \left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\phi ^{A},{\phi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}\right){\bar {\delta }}\phi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\phi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\phi ^{A}\right)\,.}$

Näin ollen aktion muutokseksi saadaan

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\phi ^{A}+L\left(\phi ^{A},{\phi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}d^{4}x=0\,.}$

Koska tämä pätee missä tahansa alueessa Ω, integrandin on oltava nolla

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\phi ^{A}+L\left(\phi ^{A},{\phi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}=0\,.}$.

Mille tahansa symmetriamuunnosten yhdistelmälle tästä aiheutuva häiriö voidaan kirjoittaa muodossa

${\displaystyle \delta x^{\mu }=\epsilon X^{\mu }\!}$

${\displaystyle \delta \phi ^{A}=\epsilon \Psi ^{A}={\bar {\delta }}\phi ^{A}+\epsilon {\mathcal {L}}_{X}\phi ^{A}}$

missä ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\phi ^{A}}$ on funktion φ^A Lien derivaatta suunnassa X^µ. Kun φ^A on skalaari tai ${\displaystyle {X^{\mu }}_{,\nu }=0\,}$,

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\phi ^{A}={\frac {\partial \phi ^{A}}{\partial x^{\mu }}}X^{\mu }\,.}$

Näistä yhtälöistä seuraa, että kentän muutos yhdessä pisteessä on

${\displaystyle {\bar {\delta }}\phi ^{A}=\epsilon \Psi ^{A}-\epsilon {\mathcal {L}}_{X}\phi ^{A}\,.}$

Differentioimalla tämä divergenssi ε:n suhteen pisteessä ε=0 ja muuttamalla etumerkki saadaan säilymislaki

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}j^{\sigma }=0}$

missä säilyvä virta on

${\displaystyle j^{\sigma }=\left[{\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}{\mathcal {L}}_{X}\phi ^{A}-L\,X^{\sigma }\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial {\phi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)\Psi ^{A}\,.}$

Käsitellään erikoistapauksena Newtonin fysiikan mukaista hiukkastan jonka massa on m ja paikkakoordinaatit x ja joka liikkuu potentiaalin V vaikutuksesta, jonka koordinatisoi aika t. Aktio S on:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}[x]&=\int L[x(t),{\dot {x}}(t)]\,dt\\&=\int \left({\frac {m}{2}}\sum _{i=1}^{3}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x(t))\right)\,dt.\end{aligned}}}$

Ensimmäinen hakasuluissa oleva termi on liike-energia, jälkimmäinen potentiaalienergia. Käsitellään ajan muunnosten generaattoria Q = ∂/∂t. Toisin sanoen ${\displaystyle Q[x(t)]={\dot {x}}(t)}$. On huomattava, että x riippuu eksplisiittisesti ajasta, kun taas V ei riipu; näin ollen:

${\displaystyle Q[L]=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}{\ddot {x}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial V(x)}{\partial x_{i}}}{\dot {x}}_{i}={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]}$

ja voidaan asettaa

${\displaystyle f={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x).}$

Silloin

${\displaystyle {\begin{aligned}j&=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}Q[x_{i}]-f\\&=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]\\&={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}+V(x).\end{aligned}}}$.

Yhtälön oikea puoli tarkoittaa energiaa, ja Noetherin teoreeman mukaan ${\displaystyle {\dot {j}}=0}$, toisin sanoen energian säilymisen periaate seuraa invarianssista ajallisten siirtymien suhteen.

Yleisemmin, jos Lagrangen funktio ei eksplisiittisesti riipu ajasta, suure

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}{\dot {x_{i}}}-L}$,

jota sanotaan Hamiltonin funktioksi, säilyy.

Käsitellään edelleen yksiulotteista aikaa ja olkoon

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}[{\vec {x}}]&=\int {\mathcal {L}}[{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t)]\,\mathrm {d} t\\&=\int \left[\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {m_{\alpha }}{2}}({\dot {\vec {x}}}_{\alpha })^{2}-\sum _{\alpha <\beta }V_{\alpha \beta }({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha })\right]\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}$

toisin sanoen on N Newtonin fysiikan mukaista hiukkasta systeemissä, jonka potentiaali riippuu vain pareittain hiukkasten suhteellisesta liikkeestä.

Käsitellään ${\displaystyle {\vec {Q}}}$:lle määriteltyä Galilein muunnosten generaattoria, toisin sanoen vertailu­järjestelmän muutosta. Toisin sanoen

${\displaystyle Q_{i}[x_{\alpha }^{j}(t)]=t\delta _{i}^{j}.\,}$

On huomattava, että

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{i}[{\mathcal {L}}]&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}-\sum _{\alpha <\beta }\partial _{i}V_{\alpha \beta }({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha })(t-t)\\&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}.\end{aligned}}}$

Tämä on muotoa ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }^{i}}$, joten voidaan asettaa

${\displaystyle {\vec {f}}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }.}$.

Täten

${\displaystyle {\vec {j}}=\sum _{\alpha }\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {\vec {x}}}_{\alpha }}}{\mathcal {L}}\right)\cdot {\vec {Q}}[{\vec {x}}_{\alpha }]-{\vec {f}}}$

${\displaystyle =\sum _{\alpha }(m_{\alpha }{\dot {\vec {x}}}_{\alpha }t-m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha })}$

${\displaystyle ={\vec {P}}t-M{\vec {x}}_{CM}}$

missä ${\displaystyle {\vec {P}}}$ on kokonaisliikemäärä, M kokonaismassa ${\displaystyle {\vec {x}}_{CM}}$ massakeskipiste. Noetherin teoreeman mukaan

${\displaystyle {\dot {\vec {j}}}=0\Rightarrow {\vec {P}}-M{\dot {\vec {x}}}_{CM}=0.}$