Nilpotentti

• Tätä määritelmää voidaan soveltaa tietynlaisille neliömatriiseille. Matriisi

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

on nilpotentti, koska A³ = 0. Katso lisää: nilpotentti matriisi.

• Tekijärenkaassa Z/9Z 3 ekvivalenssiluokka on nilpotentti, koska 3² on kongruentti 0 modulo 9.
• Oletetaan, että ei-vaihdannaisessa renkaassa on kaksi alkiota a, b, jotka toteuttavat ab = 0. Tällöin alkio c = ba on nilpotentti (jos ei nolla), kun c² = (ba)² = b(ab)a = 0. Esimerkki tällaisista matriiseista:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$

Tässä AB = 0, BA = B.

• Kokvaternioiden rengas sisältää nilpotenttikartion

Yhdelläkään nilpotentilla alkiolla ei voi olla käänteisalkiota (paitsi triviaali rengas {0}, joka on ainoastaan yksi alkio 0=1). Kaikki nollasta eroavat nilpotentti alkiot ovat nollajakajia.

n x n matriisi A, jossa kunnan alkiot on nilpontetti, jos ja vain jos sen karakteristinen polynomi on tⁿ.

Jos x on nilpotentti, niin silloin 1 - x on olemassa käänteisalkio, koska xⁿ = 0 edellyttää, että

${\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1}$

Yleisemmin, summa käänteisalkiosta ja nilpotenttialkioista on renkaan ykkösalkio, kun ne kommutoivat.

Vaihdannaisen renkaan ${\displaystyle R}$ nilpotentit alkiot muodostavat ideaalin ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$; tämä seuraa binomilauseesta. Tätä ideaali ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ kutsutaan renkaan nilradikaaliksi. Jokainen vaihdannaisen renkaan nilpotenttialkio ${\displaystyle x}$ kuluu jokaiseen renkaan alkuideaaliin ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, koska ${\displaystyle x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}}$. Joten ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ sisältyy kaikkien alkuideaalien leikkaukseen.

Jos ${\displaystyle x}$ ei ole nilpotentti, voimme lokalisoida ${\displaystyle x}$:t potenssien mukaan: ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},...\}}$ saadaan nollasta poikkeava rengas ${\displaystyle S^{-1}R}$. Lokaalisessa renkaassa alkualkioita vastaa täsmälleen ne ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, jotka toteuttaa ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset }$[2]. Koska jokaisella vaihdannaisella ei-triviaalilla renkaalla on maksimaalinen alkuideaali, niin jos ${\displaystyle x}$ ei ole nilpotentti niin ${\displaystyle x}$ ei kuulu ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, jollakin ${\displaystyle R}$:n alkuideaalilla ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Siksi ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ on täsmälleen kaikkien alkuideaalien leikkaus[3].

• Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.