Nelinopeus

Nelinopeus on fysiikassa, varsinkin suhteellisuusteoriassa nelivektori eli neliulotteisen aika-avaruuden vektori, joka vastaa kolmiulotteisessa avaruudessa määriteltyä nopeutta.

Suhteellisuusteoriassa neliulotteisen aika-avaruuden pisteitä, tai pisteitä tietyllä hetkellä, nimitetään tapahtumiksi. Jokaista kohdetta esittää siihen liittyvä käyrä aika-avaruudessa, kohteen maailmanviiva, joka voidaan parametrisoida kohteen itseisajalla. Nelinopeus on kohteen nelisijainnin muutosnopeus tällä käyrällä itseisajan suhteen. Kappaleen nopeus sitä vastoin on sen sijainnin muutosnopeus kolmiulotteisessa avaruudessa sellaisena kuin sen havaitsee inertiaalijärjestelmässä oleva havaitsija oman aikansa suhteen.

Nelinopeus on näin ollen kohteen maailmanviivan normalisoitu ajanluontoinen tulevaisuuteen osoittava tangenttivektori, ja se on kovariantti vektori. Vaikka se on vektori, kahden nelinopeuden summa ei yleensä ole minkään kohteen mahdollinen nelinopeus, minkä vuoksi mahdolliset nelinopeudet eivät muodosta vektoriavaruutta.

Minkä tahansa kohteen nelinopeuden itseisarvo on aina valonnopeuden (c) suuruinen. Koordinaatiston suhteen levossa olevan kohteen nelinopeus on aikakoordinaatin suuntainen.

Nopeus

Kohteen rata kolmiulotteisessa avaruudessa inertiaalisessa vertailujärjestelmässä voidaan esittää kolmen koordinaattifunktion avulla:

$x^{i}(t),\;i\in \{1,2,3\}$ ajan $t$ funktiona:

{\vec {x}}=x^{i}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\end{bmatrix}},

missä luvut $x^{i}(t)$ tarkoittavat sijainnin kolmea avaruudellista koordinaattia hetkellä t.

Nopeuden ${\vec {u}}$ (käyrän tangentin) komponentit missä tahansa maailmanviivan pisteessä ovat

{\vec {u}}={\begin{bmatrix}u^{1}\\u^{2}\\u^{3}\end{bmatrix}}={d{\vec {x}} \over dt}={dx^{i} \over dt}={\begin{bmatrix}{\tfrac {dx^{1}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{2}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{3}}{dt}}\end{bmatrix}}.

Suhteellisuusteoria

Einsteinin suhteellisuusteorian mukaan tietyn vertailujärjestelmän suhteen liikkuvan kohteen radan määrittelee neljä koordinaattifunktiota $x^{\mu }(\tau ),\;\mu \in \{0,1,2,3\}$ , missä $x^{0}$ merkitsee aikakoordinaattia kerrottuna valonnopeudella, ja jokainen funktio riippuu yhdestä parametrista $\tau$ , jota sanotaan kohteen itseisajaksi.

\mathbf {x} =x^{\mu }(\tau )={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ct\\x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}

Aikadilaatio

Aikadilaatiosta tiedetään, että

t=\gamma \tau \,

missä $\gamma$ on Lorentzin tekijä, joka määritellään seuraavasti:

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}

ja u on nopeusvektorin euklidinen normi ${\vec {u}}$ :

u=||\ {\vec {u}}\ ||={\sqrt {(u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}+(u^{3})^{2}}}

.

Nelinopeuden määritelmä

Nelinopeus on maailmanviivan tangentin suuntainen nelivektori. Nelinopeus missä tahansa maailmanviivan pisteessä $\mathbf {x} (\tau )$ määritellään seuraavasti:

\mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {x} }{d\tau }}

missä $\mathbf {x}$ on nelivektorilla ilmaistu maailmanviivan pisteen sijainti aika-avaruudessa ja $\tau$ itseisaika.

Nelinopeutta ei voida määritellä valonnopeudella liikkuville kohteille kuten fotoneille eikä myöskään valoa nopeammin liikkuville takyoneille, mikäli sellaisia on olemassa, sillä niiden maailmanviivan tangentti olisi paikanluontoinen.

Nelinopeuden komponentit

Aika t ja koordinaattina ilmaistu aika $x^{0}$ vastaavat toisiaan yhtälön

x^{0}=ct=c\gamma \tau \,

mukaisella tavalla. Jos tästä otetaan derivaatta kohteen itseisajan $\tau \,$ , suhteen, saadaan nopeuden komponentti $U^{\mu }\,$ tapauksessa μ = 0:

U^{0}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}=c\gamma

.

Käyttämällä ketjusääntöä komponenteille $\mu =i=$ 1, 2, 3, saadaan:

U^{i}={\frac {dx^{i}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dx^{0}}}{\frac {dx^{0}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dx^{0}}}c\gamma ={\frac {dx^{i}}{d(ct)}}c\gamma ={1 \over c}{\frac {dx^{i}}{dt}}c\gamma =\gamma {\frac {dx^{i}}{dt}}=\gamma u^{i}

missä on käytetty yhteyttä

u^{i}={dx^{i} \over dt}.

Täten nelinopeudelle $\mathbf {U}$ saadaan:

\mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)

Tiettyyn sileän aika-avaruuden alueeseen liittyvien mittakeppien ja synkronoitujen kellojen termein voidaan sanoa, että nelinopeuden kolme paikanluontoista komponenttia määrittelevät kohteen itseisnopeuden $\gamma {\vec {u}}=d{\vec {x}}/d\tau$ , toisin sanoen sen, kuinka nopeasti kohteen sijainti muuttuu vertailujärjestelmän suhteen, kun aika mitataan itseisaikana sellaisen kellon avulla, joka kulkee kohteen mukana.

Lähteet

Albert Einstein: Relativity: The Special and General Theory. New York: Alkuperäinen: Henry Holt, 1920; Uusintapainos: Prometheus Books, 1995, 1920.
Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press, 1991. ISBN 0-19-853952-5.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.