Neliöllinen keskiarvo

Tehollisarvo määritellään keskimääräisen tehon avulla. Tehon määritelmän ja Ohmin lain avulla hetkelliseksi tehoksi resistiiviseen kuormaan saadaan

${\displaystyle P(t)={v^{2}(t) \over R},}$

missä ${\displaystyle v(t)}$ on jännitteen arvo tietyllä ajan hetkellä t ja R kuorman resistanssi.

Keskimääräiselle teholle saadaan lauseke integroimalla vaihtojännite ajan jakson T yli sekä jakamalla integroinnista saatu tulos jakson pituudella.

${\displaystyle P_{avg}={1 \over R}\left({1 \over T}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}v^{2}(t)\,dt\right)={v_{rms}^{2} \over R},}$

missä ${\displaystyle t_{0}}$ on ajan hetki tarkastelujakson alussa. Keskimääräinen teho on merkitty yhtä suureksi kuin tehollisarvoisesta jännitteestä ${\displaystyle v_{rms}}$ laskettu teho. Ratkaistaan jännitteen tehollisarvo ottamalla neliöjuuri.

${\displaystyle v_{rms}={\sqrt {{1 \over T}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\,v^{2}(t)\,dt}}}$

Tämä johdettu tehollisarvon laskentakaava on sama kuin olisi käytetty suoraan RMS-keskiarvostamista. Kaava on helppo muistaa, sillä lyhenne RMS kertoo suoraan laskutavan, Root-Mean-Square (neliöjuuri-keskiarvo-neliöinti). Kaavaa tarvitaan laskettaessa tehollisarvot erilaisille vaihtojännitteille, joista yleisimmin käytettyjä ovat siniaalto, kolmioaalto ja kanttiaalto.

Sinimuotoinen vaihtojännite on muotoa

${\displaystyle v(t)=V_{0}\sin(\omega t),\,\!}$

missä ${\displaystyle V_{0}}$ on jännitteen amplitudi, t aika ja ${\displaystyle \omega }$ kulmataajuus.

Tehollisarvon lauseke sinimuotoiselle jännitteelle on

${\displaystyle v_{rms,\sin }={\sqrt {{1 \over T}\int _{0}^{T}\,V_{0}^{2}\sin ^{2}\left({\frac {2\pi }{T}}t\right)\,dt}}={\frac {V_{0}}{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {\int _{0}^{2\pi }\,\sin ^{2}(t)\,dt}}.}$

Lausekkeen ensimmäisessä osassa kulmataajuus on muutettu muotoon ${\displaystyle \omega =2\pi /T}$. Jälkimmäisessä osassa ajanjakson T paikalle on sijoitettu sinin jakson pituus, joka on ${\displaystyle 2\pi }$. Ajasta riippumaton jännitteen amplitudi on tuotu myös integraalin ulkopuolelle.

Seuraavaksi käytetään hyväksi jo tunnettua sinin neliön integraalia:[2]

${\displaystyle \int \,\sin ^{2}(x)\,dx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4}}\sin(2x)+C.}$

Laskut suorittamalla saadaan, että sinimuotoisen jännitteen tehollisarvo on vaihtojännitteen huippuarvo jaettuna neliöjuuri kahdella.

${\displaystyle v_{rms,\sin }={\frac {V_{0}}{\sqrt {2}}}}$

Kolmioaallon muotoinen vaihtojännite kuvassa punaisella. Sinisellä on piirretty tämä jännite korotettuna toiseen potenssiin.

Ideaalisen kolmioaallon yksi jakso, ${\displaystyle T/4}$ verran viivästettynä, on alla olevan yhtälöryhmän mukainen. Aaltoa on viivästetty, jotta tehollisarvoa laskettaessa päästään vähemmällä integroinnilla. On myös hyvä huomata, että kolmioaalto muuttuu paraabelin muotoiseksi, kun se korotetaan toiseen potenssiin.

${\displaystyle v(t)={\begin{cases}{\frac {4V_{0}}{T}}t&,{\mbox{kun }}-T/4\leq t<T/4\\-{\frac {4V_{0}}{T}}t+2V_{0}&,{\mbox{kun }}T/4\leq t\leq 3T/4\end{cases}}}$

Kolmioaallon jännitteen tehollisarvo on jännitteen huippuarvo jaettuna neliöjuuri kolmella.

${\displaystyle v_{rms,kolmio}={\frac {V_{0}}{\sqrt {3}}}}$

Ideaalinen kanttiaalto yhden jakson verran on muotoa:

${\displaystyle v(t)={\begin{cases}V_{0}&,{\mbox{kun }}0\leq t<T/2\\-V_{0}&,{\mbox{kun }}T/2\leq t\leq T\end{cases}}}$

Kanttiaallon jännitteen tehollisarvo on sama, kuin aallon huippujännitteen itseisarvo.

${\displaystyle v_{rms,kantti}=V_{0}\,\!}$