Negatiivinen binomijakauma

Negatiivinen binomijakauma on dikotomisen toistokokeen mielivaltaisen monennetta onnistumista edeltävien yritysten jakauma.

Negatiivinen binomijakauma

Todennäköisyysfunktio Pistetodennäköisyysfunktiot, kun ${\displaystyle r=10.}$ ${\displaystyle p=0.2}$ (sininen), ${\displaystyle p=0.5}$ (vihreä) ja ${\displaystyle p=0.8}$ (punainen)
Merkintä	${\displaystyle \mathrm {NB} (r,\,p)}$
Parametrit	r > 0 odotettu onnistumiskerta p ∈ (0,1) onnistumisen todennäköisyys
Määrittelyjoukko	k ∈ { 0, 1, 2, 3, … } (epäonnistumisten lukumäärä)
Pistetodennäköisyysfunktio	${\displaystyle {k+r-1 \choose k}\cdot p^{r}(1-p)^{k}}$
Kertymäfunktio	${\displaystyle 1-I_{1-p}(k+1,\,r)}$
Odotusarvo	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p}}}$
Moodi	${\displaystyle \left\lfloor {\frac {(1-p)(r-1)}{p}}\right\rfloor }$
Varianssi	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p^{2}}}}$
Vinous	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {r(1-p)}}}}$
Huipukkuus	${\displaystyle {\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{r(1-p)}}}$
Momentit generoiva funktio	${\displaystyle \left({\frac {pe^{s}}{1-(1-p)e^{s}}}\right)^{r}\!\!\!,s<|\ln(1-p)|}$
Karakteristinen funktio	${\displaystyle \left({\frac {pe^{\mathrm {i} s}}{1-(1-p)e^{\mathrm {i} s}}}\right)^{r}}$
Todennäköisyydet generoiva funktio	${\displaystyle {\biggl (}{\frac {1-p}{1-pz}}{\biggr )}^{\!r}{\text{ für alle }}|z|<{\frac {1}{p}}}$

Negatiivinen binomijakauma on diskreetti ja sen arvojoukko on luonnollisten lukujen joukko. Jos satunnaismuuttuja ${\displaystyle X}$ on negatiivisbinomijakautunut, merkitään

${\displaystyle X\sim \operatorname {Negbin} (r,p).}$

Jakauman parametri ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ on onnistumisen todennäköisyys, ja parametri ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$ on odotettu onnistumiskerta. Pistetodennäköisyysfunktio on

${\displaystyle \operatorname {P} (X=i)={r+i-1 \choose i}p^{r}(1-p)^{i}.}$

Odotusarvo ja varianssi ovat

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {r(1-p)}{p}}}$ ja ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {r(1-p)}{p^{2}}}.}$

Jos ${\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {Negbin} (r_{1},p)}$ ja ${\displaystyle X_{2}\sim \operatorname {Negbin} (r_{2},p)}$ sekä ${\displaystyle X_{1}}$ ja ${\displaystyle X_{2}}$ ovat riippumattomia, niin ${\displaystyle X_{1}+X_{2}\sim \operatorname {Negbin} (r_{1}+r_{2},p)}$.

Negatiivisen binomijakauman yhteys geometriseen jakaumaan on

${\displaystyle \operatorname {Negbin} (1,p)=\operatorname {Geom} (p).}$

Jakauman nimi tulee pistetodennäköisyysfunktion samankaltaisuudesta binomijakaumaan, ja siitä että pistetodennäköisyysfunktion voi ilmaista negatiivisen binomikertoimen avulla

${\displaystyle \operatorname {P} (X=i)={-r \choose i}p^{r}(-(1-p))^{i}.}$