Napoleonin pisteet

Ensimmäisen Napoleonin pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

${\displaystyle \csc(\alpha +{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:\,\csc(\beta +{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:\csc(\gamma +{\tfrac {1}{6}}\pi )=\sec(\alpha -{\tfrac {1}{3}}\pi )\,:\,\sec(\beta -{\tfrac {1}{3}}\pi )\,:\sec(\gamma -{\tfrac {1}{3}}\pi )}$ [5][1]

ja barysentriset koordinaatit ovat

${\displaystyle a\csc(\alpha +{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:\,b\csc(\beta +{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:c\csc(\gamma +{\tfrac {1}{6}}\pi ).}$ [5]

• 
  Kulma C on 150°, jolloin Napoleonin piste asettuu kärjen C päälle.
• 
  Kulma C on yli 150° ja Napoleonin piste jää kolmion ulkopuolelle. Se sijaitsee silloin yleensä tasasivuisten kolmioiden välissä.
• 
  Kun kulma C on yli 150° ja kolmion sivu CB on muita selvästi lyhyempi, jää Napoleonin piste tasasivuisen kolmion CBA sisälle.

Toinen Napoleonin piste [1] liittyy Napoleonin lauseen konstruktion muunnelmaan, jossa tasasivuisten kolmioiden vapaat kärjet on käännetty kolmiossa sisällepäin. Kun kolmion kärjet yhdistetään vastaisten sivujen tasasivuisten kolmioiden keskipisteisiin janalla, leikkaavat ne toisessa Napoleonin pisteessä. Kimberlingin merkillisten pisteiden luettelossa sitä merkitään tunnuksella ${\displaystyle \scriptstyle X_{18}}$.[4][5][7][6]

Toisen Napoleonin pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

${\displaystyle \csc(\alpha -{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:\,\csc(\beta -{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:\csc(\gamma -{\tfrac {1}{6}}\pi )=\sec(\alpha +{\tfrac {1}{3}}\pi )\,:\,\sec(\beta +{\tfrac {1}{3}}\pi )\,:\sec(\gamma +{\tfrac {1}{3}}\pi )}$ [5][1]

ja barysentriset koordinaatit ovat

${\displaystyle a\csc(\alpha -{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:\,b\csc(\beta -{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:c\csc(\gamma -{\tfrac {1}{6}}\pi )}$ [5]

• 
  Toinen Napoleonin piste jää usein kolmion ulkopuolelle.
• 
  Kunkolmion suurin kulma pienenee, sijaitsee toinen Napoleonin piste kolmion sisäpuolella.
• 
  Kun kolmio on tasasivuinen kolmio, sijaitsee toinen Napoleonin piste painopisteessä, missä sijaitsevat myös tasasivuisten kolmioiden painopisteetkin.

Kuten myös epäillään Napoleonin lauseen kohdalla, on esitetty lukuisia väitteitä, ettei Napoleon Bonaparte olisi keksinyt Napoleonin pisteitä.[1] Silti on jäänyt hämärän peittoon, kuka sen todellisuudessa olisi keksinyt.

• Napoleonin lauseen konstruktioon liittyvät myös Fermat'n pisteet, jotka ovat kolmion merkillisiä pisteitä.

• Wells, David: The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Englanti: Penguin Group, 1991. ISBN 0-14-011813-6. (englanniksi)

• PlanetMath: Triangle center
• MathPages: Napoleon's Theorem
• Ballew, Pat: Napoleon's Thm and the Napoleon Points (Arkistoitu – Internet Archive)
• Royster, David C.: MA 341 – Topics in Geometry Lecture 17, University of Kentucky