Monikulmioluku

Ensimmäinen n-monikulmioluku on aina 1 ja seuraava s.[2]

Lauseke ${\displaystyle P(s,n)}$ antaa monikulmioluvun arvon, kun

${\displaystyle P(s,n)={\left({\frac {s}{2}}-1\right)n^{2}-\left({\frac {s}{2}}-2\right)n}={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}\,.}$ [3][4]

Seuraava lauseke lausuu ${\displaystyle n}$:nnen monikulmioluvun kolmiolukujen avulla:

${\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.}$ [3]

Monikulmiolukujonon kahden peräkkäisen luvun erotuksen lauseke on

${\displaystyle P(s,n+1)-P(s,n)=(s-2)n+1\,.}$

Kahden monikulmioluvun, joiden sivujen lukumäärä eroaa vain yhdellä, saman jäsenen ${\displaystyle n}$ arvot eroavat kolmioluvun verran:

${\displaystyle P(s+1,n)-P(s,n)=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,.}$

Jos tiedetään monikulmioluvun ${\displaystyle x}$ sivujen lukumäärän ${\displaystyle s}$, voidaan laskea sen indeksi ${\displaystyle n}$ lausekkeesta

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {(8s-16)x+(s-4)^{2}}}+s-4}{2s-4}}.}$ [3]

Alle on koottu ensimmäisten monikulmiolukujen tietoja. Sarakkeessa "Jonon jäsenten lauseke" annetaan sijoitetussa muodossa lauseke, jolla voidaan laskea monikulmioluvun indeksillä ${\displaystyle n}$ annetun jäsenen arvo. Sen perässä on luettelo kymmenestä ensimmäisestä monikulmioluvusta. Joistakin monikulmioluvuista tunnetaan niiden käänteislukujen sarjan arvo. Gottfried Wilhelm Leibniz ratkaisi ensimmäisenä kolmiolukujen sarjan arvon[5]. Viimeisessä sarakkeessa on linkki kokonaislukujen jonojen sivustolle (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences).

s	Nimi	Jonon jäsenen lauseke	Jäsenet n:n arvoilla 1…10	Käänteislukujen summa[4]	OEIS-numero
3	kolmioluku	${\displaystyle {n^{2}+n \over 2}}$	1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55	${\displaystyle {2}}$	A000217
4	neliöluku	${\displaystyle n^{2}}$	1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100	${\displaystyle {\pi ^{2} \over 6}}$	A000290
5	viisikulmioluku	${\displaystyle {3n^{2}-n \over 2}}$	1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145	${\displaystyle {3\ln \left(3\right)}-{\pi {\sqrt {3}} \over 3}}$	A000326
6	kuusikulmioluku	${\displaystyle 2n^{2}-n}$	1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190	${\displaystyle {2\ln \left(2\right)}}$	A000384
7	seitsenkulmioluku	${\displaystyle {5n^{2}-3n \over 2}}$	1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{15}}{\pi }{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}+{\frac {2}{3}}\ln(5)\\+{\frac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)\\+{\frac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)\end{matrix}}}$	A000566
8	kahdeksankulmioluku	${\displaystyle 3n^{2}-2n}$	1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280	${\displaystyle {{3\ln \left(3\right) \over 4}+{\pi {\sqrt {3}} \over 12}}}$	A000567
9	yhdeksänkulmioluku	${\displaystyle {7n^{2}-5n \over 2}}$	1, 9, 24, 46, 75, 111, 154, 204, 261, 325		A001106
10	kymmenkulmioluku	${\displaystyle 4n^{2}-3n}$	1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297, 370	${\displaystyle {{\ln \left(2\right)}+{\pi \over 6}}}$	A001107
11	yksitoistakulmioluku	${\displaystyle {9n^{2}-7n \over 2}}$	1, 11, 30, 58, 95, 141, 196, 260, 333, 415		A051682
12	kaksitoistakulmioluku	${\displaystyle 5n^{2}-4n}$	1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460		A051624
13	kolmetoistakulmioluku	${\displaystyle {11n^{2}-9n \over 2}}$	1, 13, 36, 70, 115, 171, 238, 316, 405, 505		A051865
14	neljätoistakulmioluku	${\displaystyle 6n^{2}-5n}$	1, 14, 39, 76, 125, 186, 259, 344, 441, 550	${\displaystyle {{2\ln \left(2\right) \over 5}+{3\ln \left(3\right) \over 10}+{\pi {\sqrt {3}} \over 10}}}$	A051866
15	viisitoistakulmioluku	${\displaystyle {13n^{2}-11n \over 2}}$	1, 15, 42, 82, 135, 201, 280, 372, 477, 595		A051867
16	kuusitoistakulmioluku	${\displaystyle 7n^{2}-6n}$	1, 16, 45, 88, 145, 216, 301, 400, 513, 640		A051868
17	seitsemäntoistakulmioluku	${\displaystyle {15n^{2}-13n \over 2}}$	1, 17, 48, 94, 155, 231, 322, 428, 549, 685		A051869
18	kahdeksantoistakulmioluku	${\displaystyle 8n^{2}-7n}$	1, 18, 51, 100, 165, 246, 343, 456, 585, 730		A051870
19	yhdeksäntoistakulmioluku	${\displaystyle {17n^{2}-15n \over 2}}$	1, 19, 54, 106, 175, 261, 364, 484, 621, 775		A051871
20	kaksikymmentäkulmioluku	${\displaystyle 9n^{2}-8n}$	1, 20, 57, 112, 185, 276, 385, 512, 657, 820		A051872
21	kaksikymmentäyksikulmio­luku	${\displaystyle {19n^{2}-17n \over 2}}$	1, 21, 60, 118, 195, 291, 406, 540, 693, 865		A051873
22	kaksikymmentäkaksikulmio­luku	${\displaystyle 10n^{2}-9n}$	1, 22, 63, 124, 205, 306, 427, 568, 729, 910		A051874
23	kaksikymmentäkolmekulmio­luku	${\displaystyle {21n^{2}-19n \over 2}}$	1, 23, 66, 130, 215, 321, 448, 596, 765, 955		A051875
24	kaksikymmentäneljäkulmio­luku	${\displaystyle 11n^{2}-10n}$	1, 24, 69, 136, 225, 336, 469, 624, 801, 1000		A051876

Jotkin monikulmioluvut, kuten yllä oleva esimerkki 36, joka kuuluu kolmio- ja neliölukuihin, kuuluvat kahteen ryhmään saman aikaisesti. Pellin yhtälöllä on mahdollista selvittää kahden ryhmän yhteiset luvut.

Seuraavassa taulukossa on luetteloitu joidenkin monikulmiolukujen yhteiset luvut. Luku ${\displaystyle s{\text{ ja }}t}$ esittävät lukujen kulmien määrää. Joissakin tapauksissa ainoa yhteinen jäsen on ensimmäinen luku 1. Näin on esimerkiksi, kun ${\displaystyle s=10{\text{ ja }}t=4}$.