Momentti (tilastotiede)

Tavallinen momentti eli origomomentti määritellään diskreetin satunnaismuuttujan ${\displaystyle X}$ tapauksessa

${\displaystyle E(X^{r})=\sum _{x\in \Omega }x^{r}p(x).}$ [2]

Kun satunnaismuuttujalla on perusjoukossaan vain äärellinen määrä arvoja, voidaan momentti aina laskea. Mikäli perusjoukossa on numeroituvasti ääretön määrä arvoja, saadaan summa laskettua, mikäli se suppenee itseisesti.

Jatkuvan satunnaismuuttujan ${\displaystyle Y}$ tapauksessa momentti lasketaan

${\displaystyle E(Y^{r})=\int _{-\infty }^{\infty }y^{r}f(y)\,\mathrm {d} y,}$ [2]

mikäli epäoleellinen integraali on itseisenä olemassa. Origomomentti voidaan merkitä myös ${\displaystyle E(X^{r})=\langle x^{r}\rangle .}$ [2]

Kullekin eksponentin ${\displaystyle r}$ positiiviselle kokonaislukuarvolle voidaan määritellä momentti ${\displaystyle E(X^{r})}$. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa ne määritellään ${\displaystyle (r\in \{1,2,...\},\;\mu _{i}}$:t ovat vaihtoehtoisia merkintöjä)[1]

${\displaystyle r=1:\;\mu =E(X^{1})=E(X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x,}$ jota kutsutaan odotusarvoksi.[1]

${\displaystyle r=2:\;\mu _{2}=E(X^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,\mathrm {d} x,}$ jota kutsutaan toiseksi momentiksi.

${\displaystyle r=3:\;\mu _{3}=E(X^{3})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{3}f(x)\,\mathrm {d} x,}$ jota kutsutaan kolmanneksi momentiksi.

${\displaystyle r=n:\;\mu _{n}=E(X^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}f(x)\,\mathrm {d} x,}$ jota kutsutaan n:nneksi momentiksi.

Vastaavasti voidaan määritellä momentit diskreetin satunnaismuuttujan tapauksessa. Eräs tapa tuottaa jakauman kaikki momentit on käyttää momenttifunktiota. Se määritellään diskreetissä tapauksessa[3]

${\displaystyle E(e^{tX})=\sum _{x\in \Omega }e^{tx}p(x)}$

ja jatkuvassa tapauksessa

${\displaystyle M(t)=E(e^{tX})=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle =1+t\mu _{1}+{\tfrac {1}{2!}}t^{2}\mu _{2}+{\tfrac {1}{3!}}t^{3}\mu _{3}+...\,,}$

missä ${\displaystyle \mu _{1},}$ ${\displaystyle \mu _{2},}$ ${\displaystyle \mu _{3},}$...,${\displaystyle \mu _{n},}$,.. ovat origomomentteja. Siitä voidaan laskea n:n momentin arvo derivoimalla momenttifunktio n kertaa ja sijoittamalla siihen ${\displaystyle t=0.}$[4]

Keskusmomentilla, keskimomentilla eli keskeisellä momentilla tarkoitetaan satunnaismuuttujan ja odotusarvon ${\displaystyle \mu =E(X)}$ erotuksen momenttia. Se määritellään diskreetin satunnaismuuttujan ${\displaystyle X}$ tapauksessa[5]

${\displaystyle E((X-\mu )^{r})=\sum _{x\in \Omega }(x-\mu )^{r}p(x).}$

Jatkuvan satunnaismuuttujan ${\displaystyle Y}$ tapauksessa keskusmomentti lasketaan

${\displaystyle E((Y-\mu )^{r})=\int _{-\infty }^{\infty }(y-\mu )^{r}f(y)\,\mathrm {d} y,}$ [5]

mikäli summa suppenee itseisesti tai epäoleellinen integraali on itseisenä olemassa. Keskusmomentti voidaan merkitä myös ${\displaystyle E((X-\mu )^{r})=\langle (x-\mu )^{r}\rangle .}$ [5]

Kullekin eksponentin ${\displaystyle r}$ positiiviselle kokonaislukuarvolle voidaan määritellä keskusmomentti ${\displaystyle E((X-\mu )^{r})}$. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa ne määritellään ${\displaystyle (r\in [1,\infty ))}$

${\displaystyle r=1:\;E(X-\mu )=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )f(x)\,\mathrm {d} x=0.}$

${\displaystyle r=2:\;E((X-\mu )^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}f(x)\,\mathrm {d} x,}$ jota kutsutaan varianssiksi.[1][2]

${\displaystyle r=3:\;E((X-\mu )^{3})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{3}f(x)\,\mathrm {d} x,}$ jota kutsutaan kolmanneksi keskusmomentiksi eli vinoudeksi.

${\displaystyle r=4:\;E((X-\mu )^{4})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{4}f(x)\,\mathrm {d} x,}$ jota kutsutaan neljänneksi keskusmomentiksi eli huipukkuudeksi.

${\displaystyle r=n:\;E((X-\mu )^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{n}f(x)\,\mathrm {d} x,}$ jota kutsutaan n:nneksi keskusmomentiksi.

Tekijämomentit, joita saadaan esimerkiksi todennäköisyyksiä generoivista funktioista, määritellään seuraavasti

${\displaystyle E(X^{(r)})=E(X(X-1)(X-2)...(X-r+1)),}$ [6][7]

ja tarkemmin diskreetissä tapauksessa

${\displaystyle E(X(X-1)(X-2)...(X-r+1))=\sum _{x\in \Omega }(x(x-1)(x-2)...(x-r+1))p(x).}$ [7]

ja jatkuvassa tapauksessa

${\displaystyle E(Y(Y-1)(Y-2)...(Y-r+1))=\int _{-\infty }^{\infty }(y(y-1)(y-2)...(y-r+1))f(y)\,\mathrm {d} y.}$

Kolme ensimmäistä tekijämomenttia ovat

${\displaystyle E(X^{(1)})=E(X)=\mu ,}$ (odotusarvo)[6]

${\displaystyle E(X^{(2)})=E(X(X-1))=E(X^{2}-X)=E(X^{2})-E(X)=Var(X)=\sigma ^{2},}$ (varianssi)[6]

${\displaystyle E(X^{(3)})=E(X(X-1)(X-2))=E(X^{3}-3X^{2}+2X).}$