Mittasymmetria (matematiikka)

Matematiikassa Lagrangen systeemit voidaan yleisesti kirjoittaa mittasymmetrioita sisältäviksi. Teoreettisessa fysiikassa mittasymmetrioiden käsite toimii nykyaikaisten kenttäteorioiden kulmakivenä osittain johtuen sen suhteesta säilyviin suureisiin.

Lagrangen tiheyden ${\displaystyle L}$ mittasymmetria määritellään sen differentiaalioperaattorina jossakin vektorikimpussa ${\displaystyle E}$, joka saa arvonsa avaruuden ${\displaystyle L}$ symmetrioiden lineaariavaruudesta. Täten avaruuden ${\displaystyle L}$ mittasymmetria riippuu vektorikimpun ${\displaystyle E}$ sektioista ja niiden osittaisderivaatoista.[1] Näin on asian laita esimerkiksi klassisen kenttäteorian mittasymmetrioiden suhteen. [2] Yang-Millsin teoria ja mittagravitaatioteoria ovat esimerkkejä klassisista kenttäteorioista jotka ilmentävät mittasymmetrioita. [3]

Mittasymmetrioilla on seuraavat kaksi erityispiirrettä.

1. Lagrangen tiheyden mittasymmetriat täyttävät Noetherin ensimmäisen lauseen, mutta symmetrioita vastaava säilyvä virta ${\displaystyle J^{\mu }}$ saa nk. superpotentiaalimuodon ${\displaystyle J^{\mu }=W^{\mu }+d_{\nu }U^{\nu \mu }}$ missä ensimmäinen termi ${\displaystyle W^{\mu }}$ ei ole läsnä Eulerin-Lagrangen yhtälöiden ratkaisuissa, ja toinen termi on reunatermi, jossa esiintyvää termiä ${\displaystyle U^{\nu \mu }}$ kutsutaan superpotentiaaliksi. [4]
2. Noetherin toisen lauseen mukaisesti Lagrangen mittasymmetrioiden ja Noetherin identiteettien välillä on yksi-yhteen -vastaavuus, jonka Eulerin–Lagrangen operaattori täyttää. Näin ollen mittasymmetriat luonnehtivat Lagrangen järjestelmän degeneraatiota (tämä voidaan ajatella myös tietyssä mielessä systeemin redundanssina sen vapausasteiden suhteen). [5]

On tärkeää huomata, että kvanttikenttäteoriassa emäfunktionaali ei ole invariantti mittamuunnosten suhteen, ja mittasymmetriat korvataan haamukenttiä sisältävillä BRST-symmetrioilla, jotka vaikuttavat sekä kenttiin että haamuihin. [6]

Eräs suomenkielinen sekaannus, jota tulisi välttää on mittateorian (eng. measure theory) sekoittaminen mittasymmetrian (eng. gauge symmetry) kanssa. Molemmissa on eräässä mielessä kyse juurikin mittaamisesta, mutta mittasymmetrioiden mielessä mitan ja erityisesti mittamuunnosten käsitteissä on kyse systeemin redundanssin ilmentämisestä vektorikimppujen lokaalien sektioiden valintojen suhteen. Tähän rinnastettuna taas ensimmäisenä mainitussa mittateoriassa mitta käsitetään yleisenä kuvauksena joukosta kompleksi- tai reaaliluvuille, jolloin mitan käsite on keskeinen esimerkiksi integraali- ja todennäköisyyslaskennan kannalta.