Mitta

Merkitään ${\displaystyle [0,\infty ]:=[0,\infty [\,\cup \,\{+\infty \}}$ (laajennetun lukusuoran ei-negatiivinen osa).

Oletetaan, että ${\displaystyle X}$ on joukko ja ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ on jokin joukon ${\displaystyle X}$ sigma-algebra. Sanomme, että funktio ${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {A}}\rightarrow [0,\infty ]} on mitta, jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät:

1. Tyhjän joukon mitta on nolla, eli ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$
2. Jos joukot ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$, ovat erillisiä, niin ${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\mu (A_{i})}$.

Ehtoa (2) kutsutaan usein täysadditiivisuudeksi tai ${\displaystyle \sigma }$-additiivisuudeksi.

Jos ${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {A}}\rightarrow [0,\infty ]} on mitta joukossa ${\displaystyle X}$, niin kutsumme kolmikkoa ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ mitta-avaruudeksi. Joukkoa ${\displaystyle X}$ kutsutaan tällöin perusjoukoksi ja sigma-algebran ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ alkioita mitallisiksi joukoiksi.

Mitan määritelmän avulla voidaan osoittaa esimerkiksi seuraavat ominaisuudet jokaisessa mitta-avaruudessa ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$:

• Monotonisuus: jos ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ ja ${\displaystyle A\subset B}$, niin ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B).}$

• Subadditiivisuus: jos ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ (eivät välttämättä erillisiä), niin ${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)\leq \sum _{i\in \mathbb {N} }\mu (A_{i}).}$

• Konvergenssilauseet:

1. Jos ${\displaystyle B_{i}\in {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$ ja ${\displaystyle B_{1}\subset B_{2}\subset ...}$, niin ${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}\right)=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (B_{i}).}$
2. Jos ${\displaystyle C_{i}\in {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle C_{1}\supset C_{2}\supset ...}$ ja ${\displaystyle \mu (C_{1})<\infty }$, niin ${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }C_{i}\right)=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (C_{i}).}$

Usein mittateoriassa mitta pyritään määrittelemään ns. ulkomitan avulla. Ulkomitta ei itsessään ole (yleensä) mitta, mutta siitä saadaan Carathéodoryn lauseen avulla mitta. Näin saatuja mittoja ovat mm. Hausdorffin mitat ja Lebesguen mitta.

• Joukkoa ${\displaystyle N\subset X}$ kutsutaan μ-nollamittaiseksi jos ja vain jos ${\displaystyle \mu (N)=0}$.

• Ominaisuuden ${\displaystyle P}$ sanotaan pätevän μ-melkein kaikkialla joukossa X jos ja vain jos suurin X:n osajoukko N, jossa ominaisuus P ei päde, on μ-nollamittainen.

• Mitta-avaruus on äärellinen, jos perusjoukon mitta on äärellinen. Mitta-avaruutta sanotaan σ-äärelliseksi, jos perusjoukko on numeroituva yhdiste äärellismittaisista joukoista. Voidaan osoittaa, että σ-äärellisten joukkojen numeroituva yhdiste on σ-äärellinen.

Esimerkiksi reaalilukujen joukko ${\displaystyle \mathbb {R} }$ varustettuna Lebesguen mitalla ${\displaystyle m}$ on σ-äärellinen mutta ei äärellinen. Se ei ole äärellinen, koska ${\displaystyle m(\mathbb {R} )=\infty }$. Tarkastellaan suljettuja välejä ${\displaystyle [k,k+1]}$ kaikilla kokonaisluvuilla ${\displaystyle k}$. Näitä on numeroituvan monta, kaikkien mitta on ${\displaystyle 1}$, ja niiden yhdiste on koko reaaliakseli. Tarkastellaan reaalilukujen joukkoa varustettuna lukumäärämitalla ${\displaystyle \mu }$, joka antaa äärellisen joukon alkioiden lukumäärän mutta äärettömille joukoille arvon ${\displaystyle \infty }$. Tämä mitta ${\displaystyle \mu }$ ei ole σ-äärellinen, sillä jokainen äärellismittainen joukko sisältää vain äärellisen monta pistettä, joten reaaliakselia ei saada numeroituvana yhdisteenä äärellismittaisista joukoista (äärellisten joukkojen numeroituva yhdiste kun on numeroituva toisin kuin ${\displaystyle \mathbb {R} }$).

• Mitta on täydellinen, jos jokaisen nollamittaisen joukon osajoukko mitallinen. Voidaan osoittaa, että jokainen mitta voidaan täydellistää täydelliseksi mitaksi laajentamalla sigma-algebraa.

• Mitta on Borel, jos jokainen Borel-joukko on mitallinen.

• Mittaintegraali
• Lebesguen mitta
• Hausdorffin mitta
• Todennäköisyysmitta
• Jordanin mitta
• Diracin mitta
• Lukumäärämitta

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.