Metriikka (matematiikka)

Metriikka eli etäisyysfunktio kertoo joukon pisteiden välisen etäisyyden ja tekee joukosta metrisen avaruuden.[1]

Joukon $A$ metriikka on funktio $d:A\times A\to \mathbf {R}$ , joka kaikilla joukon $A$ alkioilla $x,y$ toteuttaa ehdot

$d(x,y)\geq 0$
$d(x,y)=0$ jos ja vain jos $x=y$
$d(y,x)=d(x,y)$ (symmetrisyys)
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (kolmioepäyhtälö).

Esimerkkejä tasossa $\mathbb {R} ^{2}$

Joukon pisteitä merkitään tässä $(x_{1},y_{1})$ ja $(x_{2},y_{2})$ .

Tavallinen euklidinen etäisyys tasossa: ${\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}$ .
"Manhattan-etäisyys" $\vert x_{1}-x_{2}\vert +\vert y_{1}-y_{2}\vert$ . Nimi tulee ajoreitistä kaupungissa, jossa on neliön muotoisia kortteleita.
Tšebyšovin etäisyys $max(\vert x_{1}-x_{2}\vert ,\vert y_{1}-y_{2}\vert )$ .
Yleisemmin kun $p$ on reaaliluku ja vähintään 1, on ${\sqrt[{p}]{\vert x_{1}-x_{2}\vert ^{p}+\vert y_{1}-y_{2}\vert ^{p}}}$ metriikka; euklidinen etäisyys on tämän erikoistapaus $p=2$ , Manhattan-etäisyys erikoistapaus $p=1$ ja Tšebyšovin etäisyys eräänlainen raja-arvo äärettömyydessä.

Muita esimerkkejä

Kaikki edellisen kohdan esimerkit yleistyvät kolmiulotteiseen tilaan $\mathbb {R} ^{3}$ ja edelleen mihin tahansa avaruuteen $\mathbb {R} ^{n}$ .
Merkkijonoille on määritelty Levenšteinin etäisyys.

Esimerkkejä arkielämässä

"Nopeimman reitin vaatima aika kävellen" on usein lähestulkoon etäisyysfunktio.
- Autolla kaupungissa sama ei aina päde, koska yksisuuntaiset kadut rikkovat symmetrian.
Vaalien ehdokkaiden vaalikoneisiin antamien vastausten perusteella voidaan määritellä kahden ehdokkaan vaalilupausten ja aatteellisten erojen etäisyys sillä perusteella, moneenko kysymykseen ehdokkaat vastasivat eri tavalla.
- Varsinaisesti tällöin lasketaan kahden mahdollisen vastausrivin etäisyys. Toinen ehto ei toteutuisi, jos kaksi ehdokasta vastaisi täysin samoin ja mitattaisiin nimenomaan ehdokkaiden etäisyyttä.

Lähteet

Suominen, Kalevi & Vala, Klaus: Topologia, s. 14–17. Gaudeamus, 1965. ISBN 951-662-050-7.

Kirjallisuutta

Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.