Merkkinen mitta

Olkoon ${\displaystyle X}$ joukko ja ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ sigma-algebra perusjoukolla ${\displaystyle X}$. Kuvaus ${\displaystyle \sigma$ :{\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} on yleistetty merkkinen mitta, jos se toteuttaa seuraavat ehdot

1. Tyhjän joukon mitta on nolla, eli ${\displaystyle \sigma (\emptyset )=0}$
2. Jos joukot ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle i\in I}$, missä ${\displaystyle I}$ on numeroituva joukko, ovat erillisiä ja summa ${\displaystyle \sum _{i\in I}\sigma (A_{i})}$ on olemassa, niin ${\displaystyle \sigma \left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\sum _{i\in I}\sigma (A_{i})}$.

Yleistetty merkkinen mitta voi olla myös kuvaus ${\displaystyle {\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$. Kuvaus ${\displaystyle {\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ ei kuitenkaan ole mielekäs kaavan

${\displaystyle \sigma (A)+\sigma (B\setminus A)=\sigma (B)+\sigma (A\setminus B)}$

vuoksi, jos olisi ${\displaystyle \sigma (A)=+\infty }$ ja ${\displaystyle \sigma (B)=-\infty }$.

Äärellinen merkkinen mitta määritellään samoin paitsi että vaaditaan ${\displaystyle \sigma$ :{\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {R} } .

Yleensä "merkkinen mitta" tarkoittaa äärellistä merkkistä mittaa, mutta tämä artikkeli ei sitä vaadi.

Mikäli merkkinen mitta on ei-negatiivinen kaikilla sigma-algebran alkioilla, on se selvästi mitta (eli positiivinen mitta).

Merkkiselle mitalle ${\displaystyle \sigma }$ voidaan jokaisessa joukossa ${\displaystyle A\subset X}$ määritellä niin sanotut ylä- ja alavariaatiot

${\displaystyle V^{*}(A):=\sup\{\sigma (E):E\in {\mathcal {A}},E\subset A\}}$ ja ${\displaystyle V_{*}(A):=\inf\{\sigma (E):E\in {\mathcal {A}},E\subset A\}.}$

Kuvaukset ${\displaystyle V^{*}}$ ja ${\displaystyle V_{*}}$ ovat itse asiassa myös merkkisiä mittoja, jos rajoitumme sigma-algebran alkioihin.

Näiden avulla voidaan osoittaa, että jokainen merkkinen mitta ${\displaystyle \sigma }$ voidaan lausua muodossa

${\displaystyle \sigma =V^{*}+V_{*}}$.

Tästä itse asiassa seuraa niin sanottu Jordanin esityslause, jonka mukaan jokainen merkkinen mitta on jonkin kahden mitan erotusfunktio.