Kolmion merkilliset pisteet

Kolmion merkillisistä pisteistä neljä tunnettiin niinkin varhain kuin Eukleidesin teoksesta Alkeet. Nämä pisteet ovat:

• Kolmion kulmien kulmanpuolittajat leikkaavat kaikki samassa kulmanpuolittajien leikkauspisteessä ${\displaystyle X_{1}}$. Tämä piste on samalla kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste.[6] Se on aina kolmion sisällä.
• Kun kolmion sivujen keskipisteet yhdistetään kolmion vastakkaisen kulmauksen kärkeen, saadaan kolme keskijanaa, jotka kohtaavat samassa leikkauspisteessä, jota kutsutaan kolmion painopisteeksi. Piste on myös levymäisen kolmion fysikaalinen painopiste ${\displaystyle X_{2}}$.[7] Se on aina kolmion sisällä.
• Kolmion sivujen keskipisteeseen piirretyt keskinormaalit kohtaavat keskinormaalien leikkauspisteessä ${\displaystyle X_{3}}$. Leikkauspiste on samalla kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste.[8] Terävä­kulmaisen kolmion sivujen keskinormaalien leikkauspiste on sen sisällä, tylppä­kulmaisella kolmiolla se on kolmion ulkopuolella. Suora­kulmaisella kolmiolla se sijaitsee kolmion hypotenuusan keskipisteessä.
• Kolmion kärkien ja vastakkaisten sivujen tai niiden jatkeiden väliset korkeusjanat kohtaavat yhdessä leikkauspisteessä. Tätä pistettä kutsutaan ortokeskukseksi ${\displaystyle X_{4}}$.[9][10][11]

Tasasivuisella kolmiolla nämä kaikki neljä merkillistä pistettä yhtyvät samaksi pisteeksi.

Klassisiin merkillisiin pisteisiin luetaan antiikin pisteiden lisäksi vielä seuraavat pisteet, jotka huomattiin paljon myöhemmin:[12]

• Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste ${\displaystyle X_{5}}$ [13]
• Symmediaaninen piste${\displaystyle X_{6}}$ (Lemoinen piste) [14]
• Gergonnen piste ${\displaystyle X_{7}}$ [15]
• Nagelin piste ${\displaystyle X_{8}}$ [16]
• Mittenpunkt ${\displaystyle X_{9}}$ [17]
• Spiekerin piste ${\displaystyle X_{10}}$ [18]
• Feuerbachin piste ${\displaystyle X_{11}}$ [19]
• Fermat’n pisteet ${\displaystyle X_{13}}$ ja ${\displaystyle X_{14}}$ [20][21]
• Isodynaamiset pisteet ${\displaystyle X_{15}}$ ja ${\displaystyle X_{16}}$ [22][23]
• Napoleonin pisteet ${\displaystyle X_{17}}$ ja ${\displaystyle X_{18}}$ [24][25]
• Schifflerin piste ${\displaystyle X_{21}}$ [26]
• Steinerin piste ${\displaystyle X_{99}}$ [27]