Todennäköisyysteoria

Pääartikkeli: Klassinen todennäköisyyden määritelmä

Yksinkertaisin ja varhaisin todennäköisyysmalli perustuu symmetrisiin alkeistapauksiin, ja sitä kutsutaan myös klassiseksi todennäköisyysmalliksi. Tässä mallissa otosavaruus on

${\displaystyle \Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}\}}$

ja kaikilla ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ on

${\displaystyle \mathbb {P} \{\omega _{i}\}={\frac {1}{n}}}$.

Tämä on erikoistapaus äärellisestä todennäköisyysavaruudesta, joilla jälkimmäistä rajoitusta jakaumalle ei yleisesti ole. Äärellisille todennäköisyysavaruuksille voidaan valita ilman ongelmia sigma-algebraksi potenssijoukko ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {P}}(\Omega )}$. Tämä merkitsee, että todennäköisyys on määriteltty kaikille perusjoukon osajoukoille.

Pääartikkeli: Geometrinen todennäköisyys

Klassinen todennäköisyysmalli on erikoistapaus niin sanotusta geometrisesta todennäköisyysmallista. Geometrisessa todennäköisyysmallissa voimme minkä tahansa äärellismittaisen mitta-avaruuden pohjalta rakentaa todennäköisyysmitan tähän avaruuteen. Täsmällisemmin jos ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ on mitta-avaruus, jonka perusjoukko on äärellis- ja positiivimittainen eli pätee ${\displaystyle 0<\mu (X)<+\infty }$, niin kuvaus ${\displaystyle \mathbb {P}$ :{\mathcal {F}}\rightarrow [0,1]} ,

${\displaystyle \mathbb {P} (A)={\frac {\mu (A)}{\mu (X)}},}$

on todennäköisyysmitta.

Esimerkiksi klassinen todennäköisyysmalli saadaan geometrisesta mallista jos mitaksi annetaan lukumäärämitta. Koulumatematiikassa tunnettu geometrinen todennäköisyys on taasen esimerkiksi lukusuoralla ja tasossa, joissa geometrisen todennäköisyyden mitta on saatu Lebesguen mitasta.

Pääartikkeli: Satunnaismuuttuja

Satunnaismuuttuja on ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-mitallinen kuvaus ${\displaystyle \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$. Se liittää todennäköisyyskentän Ω jokaiseen alkioon eli mahdolliseen alkeistapaukseen jonkin reaalilukuarvon. Jos siis alkeistapaus oletetaan valituksi, on satunnaismuuttujan arvo yksikäsitteisesti määritelty, joten siinä mielessä se ei ole satunnainen eikä muuttuja. Sovelluksissa todennäköisyyskentän alkiot kuitenkin tarkoittavat satunnaisia tapahtumia, jotka tapahtuvat tietyllä todennäköisyydellä, ja näin ollen satunnaismuuttujastakin voidaan käytännön kannalta sanoa, että se saa tiettyjä tai tietyllä välillä olevia arvoja tietyillä todennäköisyyksillä.

Yleisin tapa merkitä satunnaismuuttuja lienee iso kirjain, kuten ${\displaystyle X}$. Satunnaismuuttujaa merkitään joskus pienellä kirjaimella. Tällöin se tavataan erottaa vakioista, joita myös merkitään yleensä pienillä kirjaimilla, alleviivauksella, kuten ${\displaystyle {\underline {x}}}$, tai painolaadun salliessa lihavoinnilla, kuten ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$.

Satunnaismuuttujan kertymäfunktio on reaalifunktio

${\displaystyle x\mapsto \mathbb {P} \{X\leq x\}}$.

Se on kaikille satunnaismuuttujille olemassa ja yksikäsitteinen.

Satunnaismuuttuja on diskreetti, jos perusjoukko on numeroituva, ja jatkuva, jos sen kertymäfunktio on derivoituva, jolloin kyseistä derivaattaa kutsutaan tiheysfunktioksi. Satunnaismuuttujat, jotka eivät ole kumpaakaan kutsutaan muun muassa sekatyyppisiksi. Satunnaismuuttujaa sanotaan yksinkertaiseksi, jos se voi saada vain äärellisen määrän eri arvoja. Nopanheitto käy esimerkiksi tällaisesta tilanteesta.

Pääartikkelit: Tapahtumien riippuvuus ja Satunnaismuuttujien riippuvuus

Riippumattomuus on tärkeä satunnaismuuttujien ja tapahtumien välinen ominaisuus. Satunnaismuuttujat ${\displaystyle X}$ ja ${\displaystyle Y}$ ovat riippumattomia, jos tulosääntö

${\displaystyle \mathbb {P} (\{X\in B_{1}\}\cap \{Y\in B_{2}\})=\mathbb {P} \{X\in B_{1}\}\mathbb {P} \{Y\in B_{2}\}}$

pätee kaikilla Borel-joukoilla ${\displaystyle B_{1}}$ ja ${\displaystyle B_{2}}$.

Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos B tapahtuu yhtä suurella todennäköisyydellä, olipa A tapahtunut tai ei, ja kääntäen. Matemaattisesti voidaan määritellä, että ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle B}$ ovat riippumattomat, jos satunnaismuuttujat ${\displaystyle 1_{A}}$ ja ${\displaystyle 1_{B}}$ ovat riippumattomat, missä ${\displaystyle 1}$ tarkoittaa indikaattorifunktiota. Tämä on yhtä kuin ehto

${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)}$.

Vastaavat ehdot useammille satunnaismuuttujille ja tapahtumille on pädettävä kaikkien indeksikombinaatioiden yli. Esimerkiksi, tapahtumat ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ ja ${\displaystyle C}$ ovat riippumattomat, jos kaikki yhtälöt

${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B\cap C)}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)\mathbb {P} (C)}$,
${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)}$,
${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap C)}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \mathbb {P} (A)\mathbb {P} (C)}$,
ja ${\displaystyle \mathbb {P} (B\cap C)}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \mathbb {P} (B)\mathbb {P} (C)}$

pätevät.

On mahdollista, että kolme (tai useampi) tapahtuma ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ ja ${\displaystyle C}$ ovat kaikki pareittain riippumattomia, mutta kokoelma ${\displaystyle \{A,B,C\}}$ ei ole riippumaton. Esimerkiksi olkoon kahden reilun kolikon heitossa tapahtuma ${\displaystyle A}$="ensimmäinen heitto oli klaava", tapahtuma ${\displaystyle B}$="toinen heitto oli klaava" ja tapahtuma ${\displaystyle C}$="heitot menivät eri päin". Tällöin tapahtumat ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ ja ${\displaystyle C}$ ovat kaikki pareittain riippumattomia: ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A\cap C)=\mathbb {P} (B\cap C)=1/4=\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)=\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (C)=\mathbb {P} (B)\mathbb {P} (C)}$, mutta ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B\cap C)=0}$ ja ${\displaystyle \mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)\mathbb {P} (C)=1/8}$.

Satunnaismuuttujan ${\displaystyle X}$ odotusarvo on sen integraali yli otosavaruuden, joka on todennäköisyysmitan avulla merkittynä

${\displaystyle \int _{\Omega }X\,d\mathbb {P} }$.

Sille on vakiintunut merkintä ${\displaystyle \mathbb {E} X}$. Satunnaismuuttujan ${\displaystyle X}$ sanotaan olevan integroituva, jos ${\displaystyle \mathbb {E} |X|<\infty }$.

Odotusarvo on satunnaismuuttujan tärkein tunnusluku. Suurten lukujen lakien mukaan satunnaismuuttujan keskiarvo toistokokeessa on likimäärin sen odotusarvo.

Satunnaismuuttujan sanotaan olevan neliöintegroituva, jos ${\displaystyle \mathbb {E} X^{2}<\infty }$. Neliöintegroituvan satunnaismuuttujan ${\displaystyle X}$ varianssi on ${\displaystyle \mathbb {V} \mathrm {ar} X=\mathbb {E} (X-\mathbb {E} X)^{2}}$.

Erilaiset konvergenssit ovat tärkeitä satunnaismuuttujien ominaisuuksia. Olkoon ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jono satunnaismuuttujia.

• jono suppenee melkein varmasti, jos
  ${\displaystyle \mathbb {P} \{\limsup _{n\rightarrow \infty }X_{n}=\liminf _{n\rightarrow \infty }X_{n}\}=1}$
• jono suppenee stokastisesti kohti satunnaismuuttujaa ${\displaystyle X}$, jos kaikilla ${\displaystyle \varepsilon >0}$ pätee
  ${\displaystyle \mathbb {P} \{|X_{n}-X|>\varepsilon \}\rightarrow 0}$
• jono suppenee jakaumaltaan, jos niiden kertymäfunktioiden jono suppenee pisteittäin jotakin kertymäfunktiota kohti kaikissa tämän rajakertymäfunktion jatkuvuuspisteissä.
• jos ${\displaystyle \mathbb {E} X_{n}^{2}<\infty }$ kaikilla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, niin suppenee kvadraattisesti kohti satunnaismuuttujaa ${\displaystyle X}$, jos
  ${\displaystyle {\sqrt {\mathbb {E} (X_{n}-X)^{2}}}\rightarrow 0}$

Jos jono suppenee kvadraattisesti tai melkein varmasti, niin se suppenee myös stokastisesti. Jos jono suppenee stokastisesti, niin se suppenee myös jakaumaltaan.

Pääartikkelit: Ehdollinen todennäköisyys ja Odotusarvo

Varsinkin koulumatematiikassa käytetään havainnollista ehdollisen todennäköisyyden määritelmää. Jos tapahtumalle ${\displaystyle B}$ pätee ${\displaystyle \mathbb {P} (B)>0}$, niin tapahtuman ${\displaystyle A}$ todennäköisyys ehdolla ${\displaystyle B}$ on

${\displaystyle \mathbb {P} (A\,|\,B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}}$.

Tämä on tulkittava siten, että jos on ikään kuin tieto, että ${\displaystyle B}$ sattuu eli ${\displaystyle \omega \in B}$, niin yllä oleva on todennäköisyys sille, että myös ${\displaystyle A}$ on sattunut eli ${\displaystyle \omega \in A\cap B}$. Tästä lähtökohdasta voidaan todistaa seuraavat ominaisuudet:

• Ehdollinen todennäköisyys toteuttaa todennäköisyysmitan määritelmän. Täten mitalla ${\displaystyle \mathbb {P} (\cdot \,|\,B)}$ on todennäköisyysmitan ${\displaystyle \mathbb {P} (\cdot )}$ kaikki ominaisuudet. Esimerkiksi, jos ${\displaystyle A_{1}}$ ja ${\displaystyle A_{2}}$ ovat tapahtumia, niin yhteenlaskukaava pätee muodossa ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\,|\,B)=\mathbb {P} (A_{1}\,|\,B)+\mathbb {P} (A_{2}\,|\,B)-\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\,|\,B)}$
• jos tapahtumat ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle B}$ ovat riippumattomia, niin ${\displaystyle \mathbb {P} (A\,|\,B)=\mathbb {P} (A)}$
• kertolaskukaava: ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B\,|\,A)}$

Satunnaismuuttujan ${\displaystyle X}$ ehdollinen odotusarvo alisigma-algebralla ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}}$ on ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-mitallinen satunnaismuuttuja ${\displaystyle \mathbb {E} (X\,|\,{\mathcal {G}})}$, jolle yhtälö

${\displaystyle \int _{G}\mathbb {E} (X\,|\,{\mathcal {G}})\,d\mathbb {P} =\int _{G}X\,d\mathbb {P} }$

pätee kaikilla ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$. Satunnaismuuttujan ${\displaystyle X}$ ehdollinen odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja ${\displaystyle Y}$ on ${\displaystyle \mathbb {E} (X\,|\,\sigma (Y))}$, missä ${\displaystyle \sigma (Y)}$ tarkoittaa satunnaismuuttujan ${\displaystyle Y}$ virittämää sigma-algebraa.

On huomattava, että ehdollinen odotusarvo on satunnaismuuttuja, eli funktio, eikä reaaliluku. Ehdollinen odotusarvo ehdolla ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ on ${\displaystyle \mathbb {E} (X\,|\,{\mathcal {G}})(\omega )}$, missä ${\displaystyle \omega \in G}$, on reaaliluku.

Ehdollisen odotusarvon ominaisuuksia:

• jos ${\displaystyle X\geq 0}$, niin ${\displaystyle \mathbb {E} (X\,|\,{\mathcal {G}})\geq 0}$
• ${\displaystyle \mathbb {E} (\mathbb {E} (X\,|\,{\mathcal {G}}))=\mathbb {E} X}$
• karkeus voittaa aina eli iteratiivisuus: jos ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subset {\mathcal {H}}}$, niin ${\displaystyle \mathbb {E} (\mathbb {E} (X\,|\,{\mathcal {G}})\,|\,{\mathcal {H}})=\mathbb {E} (\mathbb {E} (X\,|\,{\mathcal {H}})\,|\,{\mathcal {G}})=\mathbb {E} (X\,|\,{\mathcal {G}})}$
• lineaarisuus: jos ${\displaystyle c_{1}\in \mathbb {R} }$ ja ${\displaystyle c_{2}\in \mathbb {R} }$, niin ${\displaystyle \mathbb {E} (c_{1}X+c_{2}Y\,|\,{\mathcal {G}})=c_{1}\mathbb {E} (X\,|\,{\mathcal {G}})+c_{2}\mathbb {E} (Y\,|\,{\mathcal {G}})}$
• jos ${\displaystyle X}$ on ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-mitallinen, niin ${\displaystyle \mathbb {E} (X\,|\,{\mathcal {G}})=X}$
• jos ${\displaystyle X}$ on ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-mitallinen ja rajoitettu, niin ${\displaystyle \mathbb {E} (XY\,|\,{\mathcal {G}})=X\mathbb {E} (Y\,|\,{\mathcal {G}})}$

Alisigma-algebran ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ tulkinta on ikään kuin etukäteen havaittavissa oleva tieto satunnaismuuttujan arvosta. Triviaali sigma-algebra vastaa täydellistä epätietoisuutta, ${\displaystyle \mathbb {E} (X\,|\,\{\varnothing ,\Omega \})=\mathbb {E} X}$, ja satunnaismuuttujan virittämä sigma-algebra vastaa tarkkaa tietoa sen arvosta, ${\displaystyle \mathbb {E} (X\,|\,\sigma (X))=X}$.

Joukon ${\displaystyle A}$ ehdollinen todennäköisyys on ${\displaystyle \mathbb {P} (A\,|\,{\mathcal {B}})=\mathbb {E} (1_{A}\,|\,{\mathcal {B}})}$. Tämä yhtenee koulumatematiikan ehdollisen todennäköisyyden kanssa siten, että jos ${\displaystyle \omega \in B}$, niin ${\displaystyle \mathbb {E} (1_{A}\,|\,\sigma (1_{B}))(\omega )=\mathbb {P} (A\,|\,B)}$.

Tapahtuma ${\displaystyle A}$ tai ${\displaystyle B}$ sattuu todennäköisyydellä ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)}$. Yhteenlaskukaavan yleinen muoto: jos ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ ovat tapahtumia, niin

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i})-\sum _{i<j}\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})+\sum _{i_{1}<i_{2}<i_{3}}\mathbb {P} \left(\bigcap _{j=1}^{3}A_{i_{j}}\right)}$
		${\displaystyle -\ldots +(-1)^{k-1}\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}\mathbb {P} \left(\bigcap _{j=1}^{k}A_{i_{j}}\right)+\ldots +\mathbb {P} \left(\bigcap _{j=1}^{n}A_{i_{j}}\right)}$
	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left[(-1)^{k-1}\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}\mathbb {P} \left(\bigcap _{j=1}^{k}A_{i_{j}}\right)\right]}$

Olkoon ${\displaystyle B}$ tapahtuma ja tapahtumat ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$ perusjoukon ositus. Kokonaistodennäköisyyden kaava:

${\displaystyle \mathbb {P} (B)=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})\mathbb {P} (B\,|\,A_{i})}$.

Olkoon ${\displaystyle B}$ tapahtuma ja tapahtumat ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$ perusjoukon ositus. Bayesin kaava:

kaikilla ${\displaystyle k=1,\ldots n}$ pätee ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{k}\,|\,B)={\frac {\mathbb {P} (A_{k})\mathbb {P} (B\,|\,A_{k})}{\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})\mathbb {P} (B\,|\,A_{i})}}}$

Lukua ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{k})}$ kutsutaan prioritodennäköisyydeksi ja lukua ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{k}\,|\,B)}$ posterioritodennäköisyydeksi.

Tuloperiaate: jos satunnaiskoe koostuu ${\displaystyle k}$:sta kappaleesta riippumattomia vaiheita siten, että ensimmäisellä vaiheella on ${\displaystyle n_{1}}$ eri tulosvaihtoehtoa, toisella vaiheella ${\displaystyle n_{2}}$ tulosvaihtoehtoa, ja niin edelleen niin että viimeisellä vaiheella on ${\displaystyle n_{k}}$ tulosvaihtoehtoa, niin koko kokeella on ${\displaystyle n_{1}\cdot n_{2}\cdot \ldots \cdot n_{k}}$ tulosvaihtoehtoa.^(en)

Summaperiaate: jos satunnaiskoe koostuu ${\displaystyle k}$:sta kappaleesta toisensa poissulkevia ryhmiä lopputuloksia siten, että ensimmäisessä ryhmässä on ${\displaystyle n_{1}}$ tulosvaihtoehtoa, toisessa ryhmässä ${\displaystyle n_{2}}$ tulosvaihtoehtoa, ja niin edelleen niin että viimeisessä ryhmässä on ${\displaystyle n_{k}}$ tulosvaihtoehtoa, niin kokeella on ${\displaystyle n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{k}}$ tulosvaihtoehtoa.^(en)

Olkoon ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jono satunnaismuuttujia, jonka raja-arvo

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }X_{n}}$

on melkein varmasti olemassa.

Mittateorian konvergenssilauseet pätevät todennäköisyyden mittateoreettisen määrittelyn vuoksi sellaisenaan, kun integraali korvataan odotusarvolla ja mitallinen funktio satunnaismuuttujalla. Ne voidaan kuitenkin yleistää ehdolliselle odotusarvolle siten, että jonon raja-arvon oton ja ehdollisen odotusarvon oton järjestyksen voi vaihtaa:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mathbb {E} (X_{n}\,|\,{\mathcal {G}})=\mathbb {E} (\lim _{n\rightarrow \infty }X_{n}\,|\,{\mathcal {G}})}$melkein varmasti,

missä ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ on sigma-algebra.

Oletetaan, että toinen alla olevista ehdoista on voimassa:

• ${\displaystyle X_{n}\leq X_{n+1}}$ on melkein varmasti kaikilla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ja jollakin ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ pätee melkein varmasti ${\displaystyle \mathbb {E} (X_{n}\,|\,{\mathcal {G}})>-\infty }$
• ${\displaystyle X_{n}\geq X_{n+1}}$ on melkein varmasti kaikilla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ja jollakin ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ pätee melkein varmasti ${\displaystyle \mathbb {E} (X_{n}\,|\,{\mathcal {G}})<\infty }$

Tällöin raja-arvon ja ehdollisen odotusarvon järjestyksen voi vaihtaa.

Jos on olemassa integroituva satunnaismuuttuja ${\displaystyle Y}$ siten, että ${\displaystyle |X_{n}|\leq Y}$ melkein varmasti kaikilla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, niin raja-arvon ja ehdollisen odotusarvon järjestyksen voi vaihtaa.

Olkoon ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jono satunnaismuuttujia. Myös mittateorian Fatoun lemma voidaan yleistää ehdolliselle odotusarvolle:

${\displaystyle \mathbb {E} (\liminf _{n\rightarrow \infty }X_{n}\,|\,{\mathcal {G}})\leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\mathbb {E} (X_{n}\,|\,{\mathcal {G}})}$

ja

${\displaystyle \mathbb {E} (\limsup _{n\rightarrow \infty }X_{n}\,|\,{\mathcal {G}})\geq \limsup _{n\rightarrow \infty }\mathbb {E} (X_{n}\,|\,{\mathcal {G}})}$,

missä ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ on sigma-algebra.

"Suurten lukujen lakia" kuvaava simulaatio. Joka kerta kun kolikkoa heitetään, laitetaan punainen tai sininen piste vastaavaan pylvääseen. Alussa ero voi olla suurikin, mutta lähenee lopulta arvoa 50 %.

Todennäköisyyslaskennassa suurten lukujen laeiksi kutsutaan riittäviä ehtoja sille, että satunnaismuuttujajonon keskiarvo suppenee (jollakin tavalla) kohti sen keskiarvon odotusarvoa. Jos kyseessä on erityisesti toistokoe, niin suurten lukujen lain voidaan tulkita ehdoksi sille, että kokeiden tulosten keskiarvo lähestyy kokeen odotusarvoa.

Suurten lukujen laista on olemassa useita matemaattisina teoreemoina todistettuja muunnelmia. Niistä vanhin on toistokokeita koskeva, Jakob Bernoullin todistama Bernoullin lause: Oletetaan, että jos jokin toistokoe suoritetaan n kertaa ja joka kerta toisistaan riippumatta tietty tulos X saavutetaan tietyllä vakinaisella todennäköisyydellä P₀. Silloin jos ε on kuinka pieni positiivinen luku tahansa, niin todennäköisyys sille, että sellaisten kertojen suhteellinen osuus, joilla tulos X on saavutettu, poikkeaa P₀:stä enemmän kuin ε:n verran, lähestyy nollaa, kun n kasvaa rajatta. Toisin sanoen jos n on kaikkien toistokertojen lukumäärä ja x sellaisten, joilla tämä tulos on saatu, niin

${\displaystyle \mathbb {P} \left({\frac {x}{n}}\ -P_{0}>\epsilon \right)\rightarrow \ 0}$,

kun ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$.

Esimerkiksi rahan heitossa kruunien ja klaavojen suhteelliset frekvenssit lähestyvät todennäköisesti puolikasta ja toisiaan, kun rahan heittämistä jatketaan. Tosin heitettiinpä rahaa kuinka monta kertaa tahansa, aina on mahdollista sekin, että kaikilla kerroilla tulee kruuna tai kaikilla klaava; tällainen sattuma vain käy sitä epätodennäköisemmäksi, mitä useampia kertoja heitto toistetaan. Suurten lukujen laki ei myöskään tarkoita, että kruunien ja klaavojen lukumääräfrekvenssit lähestyisivät toisiaan. Suhteellisten frekvenssien lähestyminen ei edellytä tätä.

Jos satunnaismuuttujat ${\displaystyle X_{n}}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ovat riippumattomia, samoin jakautuneita ja ${\displaystyle \mathbb {E} |X_{1}|<\infty }$, niin jonon keskiarvo suppenee melkein varmasti kohti satunnaismuuttujien odotusarvoa, toisin sanoen

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\rightarrow \mathbb {E} X_{1}}$

melkein varmasti kun ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$.

Pääartikkeli: Keskeinen raja-arvolause

Olkoot satunnaismuuttujat ${\displaystyle X_{n}}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ovat riippumattomia, samoin jakautuneita, ${\displaystyle \mathbb {E} X_{i}=\mu <\infty ,\operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}>0}$ ja ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$. Tällöin

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }}$${\displaystyle P\left({\frac {S_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}\leq x\right)=\Phi (x)}$

heikon konvergenssin mielessä. Tässä siis ${\displaystyle \Phi }$ on standardinormaalijakauman kertymäfunktio. Tulos pätee myös lievemmällä oletuksella, jota kutsutaan Lindebergin ehdoksi, nimetty suomalaisen matemaatikko J.W. Lindebergin mukaan. Hän todisti ehdon riittävyyden, mikä on kenties merkittävin yksittäinen suomalaisen matemaatikon tulos - kyseinen ehto on nimittäin myös (tietyn tasapainoehdon vallitessa) välttämätön ehto lauseen pätemiselle, ja siten ratkaisu 1900-luvun alkupuolella vaikuttaneeseen keskeiseen raja-arvoprobleemaan.

Olkoon ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jono riippumattomia satunnaismuuttujia. Merkitään äärettömän kaukaisista jonon ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ arvoista riippuvien tapahtumien sigma-algebraa symbolilla

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }\sigma (X_{n},X_{n+1},\ldots )}$.

Jos tapahtuma ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$, niin

${\displaystyle \mathbb {P} (F)=0}$ tai ${\displaystyle \mathbb {P} (F)=1}$.

Borelin–Cantellin lemma on erikoistapaus Kolmogorovin 0–1-laista.

Olkoon ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jono riippumattomia tapahtumia. Tällöin

${\displaystyle \mathbb {P} (\limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n})=0}$ tai ${\displaystyle \mathbb {P} (\limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n})=1}$.

Borelin–Cantellin lemmalla voidaan todistaa väite: "Jos apina paukuttaa kirjoituskoneella umpimähkäisesti äärettömän pitkään, kirjoittaa se lopulta kaikki Shakespearen teokset."