Matriisin aste

Matriisin A sarakeaste on A:n lineaarisesti riippumattomien sarakevektoreiden määrä. Vaihtoehtoisesti matriisin A riviaste on A:n lineaarisesti riippumattomien rivivektoreiden määrä. Vastaavasti matriisin A sarakeaste on A:n sarakeavaruuden dimensio ja riviaste on A:n riviavaruuden dimensio. Sarakeaste ja riviaste ovat aina yhtä suuret ja tätä lukua (eli lineaarisesti riippumattomien sarakkeiden tai rivien määrää) kutsutaan yksinkertaisesti matriisin A asteeksi.

Matriisin A aste voidaan määrittää myös alideterminanttien avulla. A:n aste on rank(A)= r > 0 jos ja vain jos matriisilla A on ainakin yksi r*r -alimatriisi, jonka determinantti ei ole nolla, ja jokaisen (r + 1)*(r + 1) -alimatriisin determinantti on nolla.

Matriisin A aste on myös lineaarikuvauksen f: [...], jossa f(x)=A(x) dimensio.

Matriisin

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}}$

aste on 2. Kaksi ensimmäistä riviä ovat lineaarisesti riippumattomia, joten aste on vähintään 2, mutta kaikki kolme ovat lineaarisesti riippuvia (ensimmäinen on toisen ja kolmannen rivin summa), joten asteen on oltava pienempi kuin 3.

Matriisin

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{bmatrix}}}$

aste on 1. Matriisissa on nollasta poikkeavia sarakkeita, joten aste on positiivinen, mutta jokainen pari sarakkeita on lineaarisesti riippuvia.

Yleinen tapa laskea matriisin aste on muuttaa se yksinkertaisempaan porrasmuotoon alkeisrivitoimituksien avulla. Alkeisrivitoimitukset eivät muuta matriisin riviavaruutta ja siten matriisin aste pysyy samana. Porrasmuotoisen matriisin aste on joko nollasta poikkeavien rivien tai perussarakkeiden määrä, jotka ovat yhtä suuret.

Esimerkiksi matriisi

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}}$

voidaan muuttaa porrasmuotoon käyttämällä seuraavia alkeisrivitoimituksia:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}R_{2}\rightarrow 2r_{1}+r_{2}{\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\3&5&0\end{bmatrix}}R_{3}\rightarrow -3r_{1}+r_{3}{\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&-1&-3\end{bmatrix}}R_{3}\rightarrow r_{2}+r_{3}{\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}R_{1}\rightarrow -2r_{2}+r_{1}{\begin{bmatrix}1&0&-5\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}}$.

Viimeisessä matriisissa (joka on porrasmuodossa) on kaksi nollasta poikkeavaa riviä, joten sen aste on 2.

Oletetaan, että A on m × n matriisi ja määritellään lineaarikuvaus f, jossa f(x)=A(x) kuten yllä.

• Matriisin m × n aste on ei negatiivinen kokonaisluku, eikä voi olla suurempi kuin m tai n. Matriisia, jonka aste on suurin mahdollinen, sanotaan täysiasteiseksi.
• Vain nolla-matriisin aste on 0.
• rank(A) = rank(A^T)
• f on injektio jos ja vain jos A:n aste on n (eli A:lla on täysi sarakeaste).
• f on surjektio jos ja vain jos A:n aste on m (eli A:lla on täysi riviaste).
• Jos A on neliömatriisi (eli m = n), niin A on kääntyvä matriisi jos ja vain jos A:n aste on n (eli A on täysiasteinen).
• Jos B on jokin n × k matriisi niin

${\displaystyle \operatorname {rank} (AB)\leq \min(\operatorname {rank} \ A,\operatorname {rank} \ B).}$

• Jos B on n × k matriisi, jonka aste on n niin

${\displaystyle \operatorname {rank} (AB)=\operatorname {rank} (A).}$

• Jos C on l × m matriisi, jonka aste on m niin

${\displaystyle \operatorname {rank} (CA)=\operatorname {rank} (A).}$

• Matriisin A aste on yhtä suuri kuin r jos ja vain jos on olemassa kääntyvä m × m matriisi X ja kääntyvä n × n matriisi Y niin, että

${\displaystyle XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\\\end{bmatrix}},}$

jossa I_r tarkoittaa r × r yksikkömatriisia.

Matriisin astetta käytetään esimerkiksi lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärän löytämisessä. Rouche-Capellin teoreeman mukaan yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua jos laajennetun kerroinmatriisin aste on suurempi kuin yhtälöryhmää vastaavan kerroinmatriisin aste. Jos taas näiden matriisien asteet ovat yhtä suuret, on yhtälöryhmällä ainakin yksi ratkaisu. Ratkaisuja on vain yksi jos ja vain jos aste on yhtä suuri kuin muuttujien lukumäärä. Muulloin yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua.

• Lay, David C.; Linear Algebra and Its Applications