Materiaaliderivaatta

Olkoon nopeusvektorikenttä paikan ja ajan funktio siten, että ${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z,t)=v_{x}(x,y,z,t)\,\mathbf {i} +v_{y}(x,y,z,t)\,\mathbf {j} +v_{z}(x,y,z,t)\,\mathbf {k} }$. Olkoon lisäksi ${\textstyle Q(x,y,z,t)}$ paikasta ja ajasta riippuva derivoituva funktio. Derivoidaan ${\textstyle Q}$ ajan suhteen käyttäen ketjusääntöä:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial Q}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial Q}{\partial z}}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}}$

Toisaalta nopeusvektorin komponentit ovat ${\textstyle v_{x}=\mathrm {d} x/\mathrm {d} t}$, ${\textstyle v_{y}=\mathrm {d} y/\mathrm {d} t}$ ja ${\textstyle v_{z}=\mathrm {d} z/\mathrm {d} t}$. Sijoitetaan tämä tieto edelliseen yhtälöön:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial Q}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial Q}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial Q}{\partial z}}}$

Lisäksi

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \cdot \nabla &=(v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} )\cdot \left(\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}\right)\\&=v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}}$

Näin ollen voidaan kirjoittaa

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}+\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)Q={\frac {\partial Q}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )Q}$

Olkoon koko avaruudessa kaikilla ajanhetkillä määritellyn virtauksen nopeusvektorikenttä ${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z,t)=(4t+1)\,\mathbf {i} +2xz\,\mathbf {j} -ty^{2}\,\mathbf {k} }$. Selvitetään virtauksen mukana kulkevan partikkelin kokema kiihtyvyys.

Kiihtyvyys on partikkelin nopeuden derivaatta ajan suhteen. Hyödynnetään materiaaliderivaattaa:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial z}}}$

Lasketaan ensin derivaatat erikseen:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}&={\frac {\partial }{\partial t}}\left((4t+1)\,\mathbf {i} +2xz\,\mathbf {j} -ty^{2}\,\mathbf {k} \right)=4\,\mathbf {i} -y^{2}\,\mathbf {k} \\v_{x}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial x}}&=(4t+1){\frac {\partial }{\partial x}}\left((4t+1)\,\mathbf {i} +2xz\,\mathbf {j} -ty^{2}\,\mathbf {k} \right)=(4t+1)\cdot 2z\,\mathbf {j} =(8tz+2z)\,\mathbf {j} \\v_{y}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial y}}&=2xz{\frac {\partial }{\partial y}}\left((4t+1)\,\mathbf {i} +2xz\,\mathbf {j} -ty^{2}\,\mathbf {k} \right)=2xz\cdot (-2ty\,\mathbf {k} )=-4txyz\,\mathbf {k} \\v_{z}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial z}}&=-ty^{2}{\frac {\partial }{\partial z}}\left((4t+1)\,\mathbf {i} +2xz\,\mathbf {j} -ty^{2}\,\mathbf {k} \right)=-ty^{2}\cdot 2x\,\mathbf {j} =-2txy^{2}\,\mathbf {j} \\\end{aligned}}}$

Yhdistetään tulokset ja kirjoitetaan kiihtyvyysvektori:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (x,y,z,t)&=4\,\mathbf {i} -y^{2}\,\mathbf {k} +(8tz+2z)\,\mathbf {j} -4txyz\,\mathbf {k} -2txy^{2}\,\mathbf {j} \\&=4\,\mathbf {i} +(8tz+2z-2txy^{2})\,\mathbf {j} +(y^{2}-2txy^{2})\,\mathbf {k} \end{aligned}}}$

• Advektio
• Navierin−Stokesin yhtälöt

1. White, Frank M.: Fluid Mechanics, Seventh Edition in SI Units, s. 236. McGraw-Hill, 2011. ISBN 978-007-131121-2. (englanniksi)
2. White, s. 237