Matemaattinen todistus

Osoitetaan esimerkkinä suorasta todistuksesta, että kahden parittoman luvun tulo on pariton.

Oletukset: osittelulaki, pariteetti, kokonaisluku, peruslaskutoimitukset, rengas

Väite: Kahden parittoman kokonaisluvun tulo on pariton.

Todistus: Olkoot luvut ${\displaystyle n}$ ja ${\displaystyle m}$ ovat parittomia, jolloin on olemassa sellaiset luvut ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$, että ${\displaystyle n=2p-1,\ m=2q-1\in \mathbb {Z} }$. Nyt näiden lukujen tulo voidaan kirjoittaa muodossa

${\displaystyle nm=(2p-1)(2q-1)=4pq-2p-2q+1=2(2pq-p-q)+1.}$

Tässä ${\displaystyle 2pq-p-q}$ on kokonaisluku, koska ${\displaystyle p}$ ja ${\displaystyle q}$ ovat kokonaislukuja. Koska lauseke on muotoa ${\displaystyle 2k+1}$, niin on osoitettu, että tulo ${\displaystyle mn}$ on pariton. ${\displaystyle \square }$

Matemaattisen induktion ja yllä olevan todistuksen avulla voitaisiin edelleen todistaa, että mielivaltaisen monen parittoman kokonaisluvun tulo on pariton.

Epäsuorassa todistuksessa oletetaan, että väite ei olekaan voimassa ja osoitetaan, että tästä "vastaoletuksesta" seuraa jokin ristiriita joko oletuksen, aksiooman tai jonkin aikaisemmin todistetun lauseen kanssa.

Väite: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ on irrationaaliluku. (Oletetaan, että aiemmin on jo todistettu luvun ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ olemassaolo.)

Todistus: Tehdään vastaoletus, että ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ on rationaaliluku. Silloin on olemassa kokonaisluvut ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} _{+}}$, joille ${\displaystyle {\sqrt {2}}=a/b}$ ja murtoluku ${\displaystyle a/b}$ on supistettu mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon. Korottamalla molemmat puolet toiseen potenssiin saadaan ${\displaystyle 2=a^{2}/b^{2}}$, eli ${\displaystyle 2b^{2}=a^{2}}$. Lukuteoriasta tiedetään, että jos kokonaisluvun neliö on parillinen, niin itse lukukin on parillinen. Koska luvun ${\displaystyle a}$ neliö on edellä saadun nojalla parillinen, niin on siis olemassa luku ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$, jolle on voimassa ${\displaystyle a=2c}$. Sijoittamalla tämä luvun ${\displaystyle a}$ paikalle saadaan ${\displaystyle 2b^{2}=(2c)^{2}=4c^{2}}$ eli ${\displaystyle b^{2}=2c^{2}}$. Nyt luvun ${\displaystyle a}$ lisäksi myös ${\displaystyle b}$ on parillinen, joten murtoluvussa ${\displaystyle a/b}$ voidaan jakaa sekä osoittaja että nimittäjä luvulla ${\displaystyle 2}$. Tämä on ristiriita, sillä alussa oletettiin, että luku ${\displaystyle a/b}$ oli jo supistettu mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon. Tämä ristiriita osoittaa, että vastaoletus on väärin ja alkuperäinen väite oikein. Siispä ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ on irrationaaliluku. ${\displaystyle \square }$